ер виберемо незалежні контури. Нехай перший контур складається з гілок 1, 4, 5, і по ньому тече струм I11 за годинниковою стрілкою. Нехай другий контур складається з гілок 2, 4, 6, по ньому тече струм I22 за годинниковою стрілкою. br/>
Запишемо систему рівнянь за методом контурних струмів:
В
I11 * (R7 + R3) - I22 * R3 = E6 - E3
- I11 * R3 + I22 * (R2 + R3 + R4) = E3 + J1 * R2
12 * I11 - 4 * I22 = 0,
32/3 * I22 - 4 * I11 = 28;
Вирішимо систему за методом Крамера. Знайдемо визначники:
D == 112, D22 == 336, D11 == 112. br/>
Знайдемо контурні струми:
I11 = D11/D = 1 A; I22 = D22/D = 3 A
Тепер порахуємо струми в усіх гілках.
I1 = J1 = 1 A
I2 = I22 - J1 = 2 A
I3 = I22 - I11 = 2 A
I4 = - I22 = -3 A
I6 = I11 - J1 = 0 A
I7 = I11 = 1 A
В· Теорія, метод вузлових потенціалів
Візьмемо для прикладу ПЕМ зображену на малюнку 2.В зображеної ланцюга є 3 вузла. Так як будь-яка (одна) точка схеми може бути заземлена без зміни струморозподілу в ній, один з вузлів схеми можна заземлити, тобто прийняти потенціал дорівнює 0. Заземлити вузол з потенціалом. За першим законом Кірхгофа для двох, що залишилися вузлів запишемо систему рівнянь:
В
Потім скористаємося узагальненим законом Ома для ділянки кола, що містить джерело ЕРС, дозволяє знайти струм цієї ділянки за відомою різниці потенціалів на кінцях ділянки кола і наявної на цій ділянці ЕРС E. По узагальненому закону Ома, запишемо систему:
В
Підставимо в і згрупуємо доданки з однаковими потенціалами:
В
- це і є рівняння за МУП .
Рівняння мають наступну структуру. Потенціал вузла множиться на його власну провідність - сума провідностей всіх гілок, сходяться до вузла. З цього твору віднімемо потенціали вузлів, що мають з аналізованим загальні гілки, множимо на взаємну провідність цих вузлів (Суму провідностей всіх гілок, які знаходяться між цими двома вузлами). Потенціал вузла, потенціал який ми прийняли рівним нулю, в рівняння не входить. Матриця в загальному випадку буде симетрична, на головній діагоналі будуть стояти власні провідності вузлів; ці елементи матриці завжди будуть мати знак В«плюсВ». Недіагональні елементи завжди будуть мати знак В«мінусВ». У правій частині рівнянь - записується алгебраїчна сума добутків джерел ЕРС на провідності відповідних гілок, причому цей твір береться зі знаком В«+В», якщо ЕРС спрямована до вузла, і з знаком В«-В», якщо від вузла.
Тепер розглянемо випадок, коли в ланцюзі будуть присутні джерела струму (рис 3). Провідність першої гілки в цьому випадку буде дорівнювати нулю, і перше рівняння буде виглядати наступним чином:
,
джерело струму вписуємо в праву частину зі знаком В«плюсВ», якщо він спрямований до вузла і зі знаком В«МінусВ» у протилежному випадку. Кількість рівнянь не зменшується, так як рівняння по
МУП не залежить від спочатку обраних напрямків струмів в гілках. Кількість рівнянь за МУП розраховуються за формулою:
.
Доведемо правильність розстановки знаків, звернувшись до стандартної гілки (рис 4). Розглянемо схему, що містить вузлів, і розглянемо стандартну гілку, спочатку без джерела струму.
Тут:
.
Значить
В
Для будь-якого вузла виконується перший закон Кірхгофа (викидаємо тільки власний вузол).
.
Враховуємо, що вузол до вузла ніякого відношення не має, його можна винести за дужку:
.
Звідси
,
сума провідностей всіх гілок, що сходяться до вузла, помножена на потенціал власного вузла, взята зі знаком В«плюсВ», мінус сума добутків провідностей між i -м і j -м вузлом і потенціалів відповідних вузлів дорівнює взятій зі знаком В«мінусВ» сумі творів джерел на провідності.
Малюнок 5
Ми довели всі знаки на приватному прикладі.
Тепер включимо джерело струму (рис 5). У даному випадку він буде випливають. З урахуванням його наявності, рівняння за першим законом Кірхгофа буде виглядати наступним чином:
.
Отриманий результат також відповідає результату, отриманому раніше для приватного прикладу.
Якщо ми тепер подивимося на рівняння
,
де в можуть входити як джерела струму, так і джерела ЕРС, помножені на провідність, - власні провідності, беруться зі знаком В«+В», - взаємні провідності, беруться зі знаком В«-В».
Отримаємо цю ж систему рівнянь у стандартному вигляді, тобто через стандартну гілку. Для стандартної гілки:
