>, а J - деяке безліч індексів j, при якому:
1) Xj X при всіх j J ;
2) Xj 0 при всіх j J ;
3) X i X j = 0 при j J ;
4) X j = X .
Ряд прикладних задач розбиття множини конструктивних елементів високого рівня на елементи нижчого рівня (наприклад, завдання розбиття множини мікросхем блоку РЕА на окремі субблоки) зводиться до операцій розбиття множин. Конкретні рішення подібних завдань розглянуті в гл. 4. p> Поняття порожнього безлічі 0 аналогічно нулю в алгебрі чисел. Дійсно, якщо для будь-якого числа а справедливо а 0 = 0 і а +0 = а , то для будь-кого. безлічі X справедливо X 0 = 0 і X 0 = Х.
Введемо поняття безлічі I, відповідне одиниці в алгебрі чисел. Така безліч повинно володіти тим властивістю, що перетин з ним будь-якого безлічі X дає в результаті це ж безліч X , т. е. X I = X за аналогією з а 1 = а.
Безліч I , що володіє цією властивістю називають універсальним або одиничним безліччю. У загальному випадку, якщо при деякому розгляді беруть участь тільки підмножини деякого фіксованого безлічі I , то це найбільше безліч і є універсальним.
У конкретних програмах в якості універсальної множини можуть використовуватися різні загальні підмножини. Наприклад, серед безлічі комплектів конструкторських документів на виготовлення виробів РЕА повний комплект конструкторських документів є універсальним безліччю цих документів або коли при розгляді множин мікросхем окремих субблоков РЕА виділяють універсальне безліч таких мікросхем на всю дану радіоелектронну апаратуру в цілому.
Універсальне безліч має властивість, не мають аналога в алгебрі чисел, а саме для будь-якого безлічі X справедливо співвідношення X I = I .
У об'єднання цих множин повинні входити як елементи множини X, так і доповнюють елементи безлічі I . Але, у свою чергу, всі елементи безлічі X входять в універсальне безліч I , тому і об'єднання X I одно універсальному безлічі I .
На підставі цих міркувань легко визначити доповнення безлічі X як . Подвійне додаток = X .
З допомогою операції доповнення можна в зручному вигляді представити різниця множин
В
т. е.
В
Багато визначення теорії множин зручно записувати у вигляді математичних виразів, містять деякі логічні символи. До числа таких символів відноситься символ слідства (імплікації). Наприклад, запис ХУ і Y Z X Z (транзитивність) читають так: якщо XY і У Z, то X Z. Інші символи пов'язані із застосуванням кванторів спільності та існування. Квантор спільності - це операція, яка зіставляє Р (х) висловом: В«Все х мають властивість Р (х)В». Для цієї операції вживають знак (перевернуте латинське А). Наприклад, запис х (Р (х) Q ( x )) свідчить про те, що всі об'єкти, що володіють властивістю Р (х), володіють і властивістю Q ( x ).
Поряд з квантором спільності в теорії множин існує поняття квантора існування, обозначаемого (перевернута латинська буква Е). Наприклад, запис
В
стверджує, що існує принаймні один об'єкт х, володіє одночасно властивостями Р (х) і Q ( x ), т. е. Р (х) і Q ( x ) перетинаються: Р ( х) Q (x) 0.
У теорії множин часто користуються поняттям логічної еквівалентності, обозначаемой. Наприклад, запис
В
потрібно читати: В«Виконання умов X Y і Y X , тo ж саме що X = У В».
Приклад 1. Довести за допомогою тотожних перетворень рівність ( X У) Z = ( X Z ) (У Z ) і показати з допомогою діаграм його комутативні властивості.
Рішення. Це рівність відомо як тотожність дистрибутивности операцій над множинами. Щоб переконатися в справедливості цієї тотожності, покладемо . Тоді одночасно і, що можливо в разі, коли або , т. е.. Звідси можна зробити висновок, що. Аналогічно доводиться співвідношення . Відповідно з визначенням рівності множин приходимо до необхідному тотожності. p> На рис. 4, а показаний набір вихідних множин X , У і Z, а на рис. 4, б, в-комбінація множин відповідно до виразами і .
