до точки F (-1; 0), ніж до прямої х = -4.
Рішення.
В
Нехай М ( х , у ). Тоді Г§ MN Гє = 2 Г§ MF Гє, Г§ MN Гє = Г§-4 - x Гє, Г§ MF Гє = =, Гћ Г§-(4 + х ) Гє =. p> Зведемо в квадрат: (4 + х ) 2 = 4 (( х + 1) 2 + у 2 ),
Гћ 16 + 8 х + х 2 = ( Х 2 + 2 х + 1 + у 2 ) В· 4 = 4 х 2 + 8 х + 4 + 4 у 2 ,
Гћ 3 х 2 + 4 у 2 = 12 Гћ Гћ. p> Таким чином, точка М ( Х , у ) рухається по еліпсу. br/>В
ПРИКЛАД 4
Написати рівняння гіперболи, що має вершини в фокусах, а фокуси - у вершинах еліпса.
Рішення.
З рівняння даного еліпса маємо: а = 5; в = 3, а > в .
Отже, Тому, вершинами еліпса будуть точки (В± 5; 0), (0; В± 3), а фокусами точки F 1 (- з , 0) = (-4; 0), F 2 (4, 0).
Так як фокуси еліпса знаходяться на осі Ох ( а > в ), то вершини (В± 5; 0) будуть фокусами гіперболи. Канонічне рівняння гіперболи, що має фокуси на осі Ох , має вигляд (13)
,
причому F 1 (- 5 , 0), F 2 (5, 0) - фокуси даної гіперболи, тобто з 1 = 5. Знайдемо а 1 і в 1 . p> Так як вершини даної гіперболи знаходяться у фокусах еліпса, то а 1 = з = 4. Отже:
.
Таким чином, рівняння гіперболи має вигляд
В
В
ПРИКЛАД 5
Скласти рівняння геометричного місця точок, однаково віддалених від точки F (2, 0) і від прямої у = 2. Знайти вершину параболи, точки перетину її з віссю Ох . br/>В
Рішення.
Нехай точка М ( х , у ) - належить даній безлічі точок. p> Отже Г§ FM Гє = Г§ NM Гє, Г§ FM Гє ==, Г§ ; NM Гє = 2 - у , Гћ 2 - у =. p> Зведемо в квадрат:
В
- парабола, гілки якої спрямовані вниз.
Знайдемо точки перетину даної параболи з віссю Ох .
у = 0 Гћ Гћ Гћ х 1 = 0; х 2 = 4. p> Т. е. це будуть точки (0; 0); (4; 0). p> Гћ Вершина параболи буде в точці з абсцисою х = 2 Гћ == 2 - 1 = 1, тобто
Вершиною параболи буде точка (2; 1).
ПРИКЛАД 6
На параболі у 2 = 6 х знайти точку, фокальний радіус якої дорівнює 4,5.
Рішення.
Так як у 2 = 2 рх Гћ 2 р = 6, р = 3. Гћ = = Значить у 2 = 6 В· 3 = 18 Гћ у = В± = В±. Гћ (3; В±) - дві таких точки. br/>
ЛІТЕРАТУРА
1. Гусак А. А. Аналітична геометрія і лінійна алгебра. - Мн.: ТетраСистемс, 1998. p> 2. Овсеец М. І., Світла Є. М. Збірник задач з вищої математиці. Навчальне видання. - Мн.: ЧІУіП, 2006. - 67 с. br/>
