Точки називаються вершинами гіперболи.
Зауважимо, що якщо рівняння гіперболи має вигляд
(14)
то фокуси гіперболи знаходяться на осі Оу , а гілки гіперболи будуть спрямовані не вліво і вправо, а вгору і вниз.
Так як, то (15)
Як і у випадку з еліпсом, ексцентриситетом гіперболи називається відношення межфокусного відстані до довжини дійсної осі:
(16)
Отже,
Висловимо фокальні радіуси точки через ексцентриситет. З (12)
В
(17)
Прямі називаються директрисами гіперболи.
- ліва директриса,
- права директриса.
директриса гіперболи володіють тим же властивістю, що і директриси еліпса
(18)
В
т. е. ставлення відстані від будь-якої точки гіперболи до фокуса до віддалі від неї до відповідної директриси є величина постійна, рівна ексцентриситету гіперболи.
Для гіперболи важливу роль відіграють також прямі
(19)
які є її асимптотами , тобто прямими до яких графік гіперболи необмежено близько наближається, але не перетинає їх. Зауважимо, що асимптоти гіперболи збігаються з діагоналями прямокутника (якщо їх продовжити)
Слід зазначити, що якщо рівняння гіперболи має вигляд (14), тобто її фокуси знаходяться на осі Оу , то зміняться формули для обчислення фокальних радіусів, ексцентриситету, директрис. Так - ексцентриситет, - рівняння директрис. p> 3 Парабола
Параболою називається безліч точок площині, рівновіддалених від даної точки F цій площині, званої фокусом параболи, і даної прямий, званої її директоркою. p> Побудуємо рівняння параболи.
Нехай вісь Про x проходить через фокус F параболи і перпендикулярний директрисі, а вісь Оу проходить посередині між фокусом і директоркою. Позначимо через p - відстань між фокусом і директоркою. Тоді, а рівняння директриси. p> Число p - називається фокальним параметром параболи.
Нехай - Довільна точка параболи. Нехай - фокальний радіус точки M . d - відстань від точки М до директриси. Тоді
За визначенню параболи. Отже
В
Зведемо це рівняння в квадрат
В В
(20)
- канонічне рівняння параболи , симетричної відносно осі Про x і проходить через початок координат.
Точка (0, 0) - вершина параболи.
Якщо р > 0 ( р > 0), то парабола (20) розташована правіше (лівіше) осі Оу .
Так як для параболи, а для еліпса і гіперболи, то, отже, ексцентриситет параболи дорівнює 1 (e = 1).
Зауважимо, що парабола, симетрична щодо Оу і що проходить через початок координат, визначається рівнянням
х 2 = 2 q y (21)
Фокус цієї параболи знаходиться в точці. Рівняння її директриси. Фокальний радіус її точки М ( х , у ) виражається формулою.
Якщо q > 0 ( q <0), то гілки параболи (21) розташовані вище (Нижче) осі Ох . p> Розглянемо приклади.
ПРИКЛАД 1
Знайти координати центру і радіус кола, обумовленою рівнянням
х 2 + у 2 - 4 х + 6 у - 3 = 0. p> Рішення.
Виділимо повні квадрати в даному рівнянні:
х 2 + у 2 - 4 х + 6 у - 3 = ( Х 2 - 4 х + 4) - 4 + ( у 2 + 6 у + 9) - 9 - 3 = 0
Гћ ( х - 2) 2 + ( у + 3) 2 = 16. p> Враховуючи рівняння кола (1), маємо, що її центр знаходиться в точці з координатами (2; -3), а радіус дорівнює 4.
ПРИКЛАД 2
Еліпс, симетричний щодо осей координат, фокуси якого знаходяться на осі Ох , проходить через точку М (-4;) і має ексцентриситет. Написати рівняння еліпса і знайти фокальні радіуси точки М .
Рішення.
Канонічне рівняння еліпса має вигляд
Так як еліпс проходить через точку М , то її координати повинні задовольняти цьому рівнянню
В
Фокуси знаходяться на осі Ох , отже
В
Об'єднавши отримані два рівняння в систему, знайдемо а 2 і в 2 :
В В
Отже, рівняння даного еліпса має вигляд:
В
Фокальні радіуси точки М визначимо за формулами (8): х = -4,,.
Гћ r 1 = а + e х == 8 - 3 = 5,
r 2 = а - e х == 8 + 3 = 11.
ПРИКЛАД 3
Визначити траєкторію точки М , яка при своєму русі залишається вдвічі ближче ...
