отримуємо:
В
(41)
Наводячи подібні члени і прирівнюючи всі коефіцієнти отриманого статечного ряду нулю, отримуємо шукані формули:
;
,,, (42)
де,.
Аналогічні формули легко вивести і для загального випадку поліноміальної системи ступеня.
Оцінка похибки і вибір кроку
Розглянемо поліноміальну задачу Коші:
, (43)
, (44)
де,,, а максимальна ступінь поліномів (ступінь системи (43)) дорівнює.
Введемо позначення:
,, (45)
і будемо припускати, що.
Теорема.
Рішення завдання (43), (44) голоморфних в колі і задовольняє там неравенствам:
, (46)
де
,, (47)
Використовуючи цю теорему нескладно побудувати алгоритм автоматичного вибору кроку в методі рядів Тейлора за заданою користувачем кордоні абсолютної (або відносної) похибки.
1.4.3 Метод Рунге-Кутта
Цим методам присвячено багато робіт, і вони добре викладені у численних підручниках (див., наприклад, [2,3]).
2. Моделі осцилюючих процесів у живій природі
В
2.1 Модель Лотки
2.1.1 осцилюючі хімічні реакції
У деяких хімічних реакціях концентрації реагентів осцилюють в наступному сенсі. З'єднання якихось початкових речовин призводить до їх хімічної взаємодії, в результаті чого утворюються нові речовини, які також починають взаємодіяти з іншими реагенту-ми. У перебігу всіх цих реакцій концентрації реагентів коливаються і, на-кінець, всі хімічні перетворення завершуються й у якості результату залишаються якісь певні речовини, які вже не реагують між собою. Перша математична модель осцилюючих хімічних реакцій була запропонована в роботі Лотки [7].
Розглядається математична модель взаємодії на молекулярному рівні речовин на основі наступних припущень:
1. При взаємодії з молекулою речовини молекула речовини перетворюється на молекулу речовини. Це описують у формі молекулярної ре-акції:
(1)
Таку реакцію відносять до класу автокаталітіческіх, так як наявність речовини забезпечує перетворення іншої речовини в. p> 2. При взаємодії з молекулою речовини молекула речовини пре-обертається в молекулу речовини, тобто відбувається автокаталітіческая молекулярна реакція:
(2)
3. Речовина в той же час незворотньо розпадається, перетворюючись в речовину, то Тобто відбувається молекулярна реакція
(3)
4. Швидкості протікання реакцій (1), (2), (3) пропорційні концентраціям речовин в лівих частинах цих реакцій, тобто рівні відповідно:
,, , (4)
де символами,, позначені концентрації речовин,, з-відповідально, а коефіцієнти - позитивні числа.
5. Швидкість зміни концентрації кожної речовини дорівнює сумі швидкостей зміни концентрацій цієї речовини у всіх реакціях, в яких вона бере участь.
З умов 1-5 слідують рівності:
,
,
,
, (5)
де - концентрація речовини. Це система ОДУ Лотки. br/>
2.1.2 Осциляція популяцій у системі В«хижак-жертваВ»
Перша екологічна модель типу В«хижак - жертваВ» була запропонована в книзі Лотки [8]. Вона заснована на тих ж рівняннях (5).
Нехай на острові живуть жертви (Зайці) і хижаки (вовки). Розглядається математична модель зміни величин (рослинна їжа для зайців),,, (померлі вовки) на основі наступних припущень:
1. Наявність зайців та їжі для них призводить до збільшення кількості зайців, що можна записати формулою:
(6)
2. Наявність вовків та їжі для них призводить до збільшення кількості вовків:
(7)
3. Вовки вмирають від хвороб або старості:
(8)
4. Швидкість зміни кількості зайців за формулою (6), швидкість зміни кількості вовків по формулою (7) і швидкість збільшення кількостей померлих вовків за формулою (8) рівні відповідно:
,, , (9)
де символами,, позначені кількості рослинної їжі, зайців і вовків, а - позитивні коефіцієнти.
5. Швидкість зміни кожного з кількостей (кількість померлих вовків) дорівнює сумі швидкостей зміни цих кількостей в кожному з процесів (6), (7), (8), в якому відповідна величина бере участь.
З умов 1-5 слідують рівняння Лотки (5), тільки символи мають інший зміст.
Більше спільні моделі поведінки хижаків і жертв у різних еко-логічних ситуаціях були запропоновані в лекціях Вольтерри [1]. У зв'язку з цим, рівняння Лотки (5) називають часто рівняннями Лотки-Вольтерра. p> І все ж велика частина робіт з цієї тематики присвячена навіть більше спрощеним у порівнянні з моделлю Лотки двовимірному нагоди, так як це дозволяє застосо...
