вувати методи фазової площини для динамічних систем.
Зведення моделі (5) до двовимірної засновано на припущенні, що вели-чину постійна. У випадку моделі осцилюючих хімічних реакцій це означає, що речовини досить багато, а в разі моделі В«хижак - жертва В»це означає, що їжі у зайців достатньо багато. З цього предполо-вання випливає, що. Так як величина входить тільки в послід-неї з рівнянь (5), то друге і третє рівняння відокремлюються:
,
, (10)
де.
2.2 Інші моделі
В
Вони викладаються в численних статтях і книгах. Крім вже запропонованих раніше, дамо тут посилання ще на одну книгу [6]. br/>
3. Ідентифікація параметрів моделі Лотки
В
3.1 Диференціальні рівняння
Задачу Коші для рівнянь Лотки (5) п.2 запишемо, використовуючи більш стандартні математичні позначення:
,
, (1)
,
,
, (2)
Задача Коші (17), (18) п.1 буде наступною:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, (3)
,, (4)
Як бачимо, задача Коші (1), (2), (3), (4) поліноміальна, і для її чисельного інтегрування можна застосовувати метод рядів Тейлора. p> 3.2 Постановки завдання ідентифікації та функціонали МНК
В
Для конкретних біологічних чи інших моделей проводять реальні експерименти з визначення величин, від яких залежать функціонали типу (20) п.1.3. Кожен реальний експеримент має і свої можливості (часто вельми обмежені) і свою ціну (можливо високу) визначення кожної величини.
Природно тому використовувати різні функціонали, залежні від того чи іншого набору величин. Ми розглянемо три функціоналу. Пер-ші два з них орієнтовані на різні типи експериментів з дуже обмеженими можливостями, а третій є їх узагальненням.
В експерименті першого типу, при одному і тому ж початковому даному вимірюються значення
(5)
однієї із змінних в різні моменти,. p> В експерименті другого типу, при початкових даних,, з-міряються значення
, (6)
величин, в один і той же момент часу. p> В експерименті третього типу, при початкових даних,, з-міряються значення
(7)
величин, в моменти часу,,.
Відповідні функціонали рівні:
, (8)
, (9)
, (10)
де - фіксовані вагові коефіцієнти.
Градієнтні рівняння і відповідні початкові умови для цих функціоналів наступні:
, (11)
, (12)
(13)
, (14)
3.3 Як прискорити обчислення
Досвід реальних обчислень показує, що мінімізація функціоналу методом градієнтних рівнянь природно ділиться на два етапи. На першому етапі відбувається швидке зменшення функціоналу. На другому етапі це зменшення стає все більш повільним, і процес знаходження досить точного наближення параметрів, відповідних локального мінімуму функціонала, може зажадати неприйнятно великих витрат машинного часу.
Для того, щоб прискорити обчислення на другому етапі, необхідно прискорити чисельне інтегрування вихідних рівнянь, рівнянь у варіаціях і градієнтних рівнянь. Вихідні рівняння і рівняння у варіаціях, як правило, поліноміальні і для їх чисельного інтегрування можна використовувати метод рядів Тейлора.
Градієнтні рівняння не поліноміальні, і на першому із згаданих вище етапів їх природно інтегрувати методами Рунге-Кутта. На другому етапі ідентифіковані параметри змінюються повільно і праві частини градієнтних рівнянь можна апроксимувати поліномами за цими параметрами в околиці деякого їх поточного значення.
Ця апроксимація досить точна тільки на деякому проміжку зміни, тому її потрібно час від часу будувати заново в околиці чергового поточного значення параметрів. На відповідних проміжках зміни наближені поліноміальні градієнтні рівняння можна інтегрувати методом рядів Тейлора.
Зазначимо, що побудова кожної апроксимації градієнтних рівнянь вимагає багаторазового чисельного рішення вихідних рівнянь і рівнянь в варіаціях, для чого можна використовувати метод рядів Тейлора.
Перейдемо до формул. Рівняння точної градієнтної задачі Коші
(15)
,, (16)
де, ми прагнемо замінити на наближені градієнтні рівняння:
,, (17)
де - поліном по, а - набір його коефіцієнтів.
При цьому ми хочемо, щоб величини
, (18)
були досить малими при
, (19)
де - деяке фіксоване число. Коефіцієнти полі-нома можна знайти методом найменших квадратів з функціоналом:
, (20)
де,, а - вагові коефіцієнти.
Зазначимо, що при малих в якості можна розглянути поліном ступеня 3 або 4, а при великих і/або - поліном ступеня ...
