ачення перших компонент рішення задачі (14), (15) у точці при заданих
У методі найменших квадратів вважають, що значення, що доставляє мінімум цієї функції, є адекватним наближенням до реального значення параметра для прийнятої моделі процесу.
Для того, щоб скористатися методом градієнтних рівнянь, необхідно виписати рівняння (7) для функціоналу (20):
(21)
Ці градієнтні рівняння треба доповнити початковими умовами:
(22)
1.4 Чисельне рішення градієнтних рівнянь
В
Звернемося до функціоналу,, визначеному в п.1.3. Пря-мій спосіб знаходження наближеного значення точки, визначеної за формулою (17) (то є точки передбачуваного мінімуму функціонала), - це чисельне інтегрування градієнтних рівнянь (21) при початкових умовах (22).
Праві частини рівнянь (21) залежать від невідомих через значення функцій в точках при,, . При фіксованих значеннях величини можуть бути отримані чисельним інтегруванням рівнянь (14), (17) при початкових умовах (15), (18).
Таким чином, нам потрібно обговорити чисельні методи інтегрування за-дачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь. Найбільш рас-розлогий покрокові методи, які дозволяють для задачі Коші
, (23)
, (24)
вирушаючи від значення, послідовно отримувати наближені значення рішення на точках
Числа називають кроками інтегрування, а числа, ... - вузлами таблиці або сітки чисельного інтегрування. Сукупність вузлів називають сет-кою, а величини називають значеннями рішення на вузлах сітки. Якщо то говорять про рівномірної сітці або про інтегрування з постійним кроком.
Чисельне інтегрування градієнтних рівнянь, як правило, вимагає частої зміни величини кроку інтегрування. Добре до швидкої зміни кроку пристосовані явні методи Рунге-Кутта і метод рядів Тейлора.
Покрокові методи чисельного інтегрування звичайних диференціальних рівнянь добре висвітлені в літературі за чисельним аналізу (Див., наприклад, [2,3]). br/>
1.4.1 Поліноміальні системи
поліноміальний системою ми будемо називати автономну систему ОДУ
, (25)
де - алгебраїчні поліноми по.
Які системи ОДУ можна звести до поліноміальним і як це робиться? Почнемо з прикладу. Розглянемо задачу Коші:
(26)
(27)
Вводячи додаткові змінні
(28)
отримуємо наступну квадратичну задачу Коші:
В
(29)
В
(30)
Тепер розглянемо досить загальний випадок. Розглянемо клас сис-тем ОДУ (23), праві частини яких можна представити у вигляді:
(31)
де всі функції, а також всі функції
(32)
є алгебраїчними поліномами по.
Будь-яка система з зводиться до поліноміальної. Дійсно, якщо в (23), (24) ввести додаткові змінні то:
(33)
(34)
де всі праві частини
(35)
- алгебраїчні поліноми по з постійними коефіцієнтами.
Рівняння кінетики, як правило, або мають вигляд (25), або можуть бути зведені до такої системи введенням додаткових змінних. Тому важливо знати які функції задовольняють поліноміальним системам, або, інакше кажучи, наскільки багаті вмістом моделі, засновані на поліноміальних системах ОДУ.
Обговоримо це питання. Будемо говорити, що скалярна функція скалярного аргументу задовольняє поліноміальної системі, якщо вона є однієї з компонент рішення такої системи. Клас скалярних функцій, задовольняють поліноміальної системі назвемо. За винятком деяких теоретико-числових функцій (гамма-функція Ейлера, дзета-функція Рімана і т.п.) інші функції з відомих математичних довідників належать класу. p> Цей клас замкнутий щодо операцій (додавання, віднімання, множення, ділення, диференціювання, інтегрування, супер-позиція). Це означає, що якщо функції належать, то і будь-яка їх композиція, отримана за допомогою кінцевого числа операцій, також належить.
1.4.2 Метод рядів Тейлора
Введемо у розгляд оператор, сопоставляющий рішенням задачі Коші (23), (24) його поліном Тейлора
, (36)
порядку. Радіус збіжності ряду позначимо . p> Метод рядів Тейлора рішення задачі Коші (23), (24) полягає в побудові таблиці наближених значень за формулами:
,
,, (37)
де - натуральні,,,, а задовольняють нерівності.
Для програмної реалізації методу рядів Тейлора необхідні алгоритми знаходження коефіцієнтів Тейлора і автоматичного вибору величини кроку інтегрування.
Знаходження коефіцієнтів Тейлора
Розглянемо квадратичну задачу Коші
, (38)
, (39)
де - речові або комплексні постійні, а - речова або комплексна змінна. h1> Підставляючи в (38) розкладання Тейлора
, (40) ...
