а его довжіні и НЕ поклади від его розташування на відрізку.
За таких розумів ймовірність попадання точки на відрізок дорівнює відношенню Довжина відрізків:
. (1)
Если, то розглядається ймовірність попадання точки в точку на відрізку. Як слідує з (1), така ймовірність дорівнює нулю:
.
Отже, ЯКЩО ймовірність події дорівнює нулю, то необов'язково, что ця Подія Неможливо.
Нехай g - плоска фігура, яка Цілком знаходится всередіні Іншої плоскої фігурі G. На фігуру G навмання кідається точка. Це означає Виконання таких припущень:
- кинута точка может опінітісь у будь-якій точці фігурі G;
- ймовірність попадання точки на фігуру g пропорційна площі цієї фігурі и НЕ покладів ні від ее розташування відносно фігурі G, ні від ее формува.
За таких розумів ймовірність попадання точки у фігуру g дорівнює відношенню площ фігур
, (2)
- площа фігурі g, - площа фігурі G.
Означення (1) та (2) є частковий випадка загально Означення геометричних ймовірностей:
, (3)
де mes позначає міру (Площу, об'єм, Довжину) области, - вектор, Який візначає точку біля n-вимірному евклідовому просторі.
Приклад 1. У сігналізатор поступають сигналі з двох прістроїв. Надходження сігналів від прістроїв рівноможліве у будь-який момент годині на проміжку від 0 до Т. Моменти надходження сігналів незалежні один від одного. Сігналізатор спрацьовує, ЯКЩО різніця между моментами надходження сігналів Менша чем t. Знайте ймовірність того, что сігналізатор подасть сигнал за годину Т (Подія A), ЯКЩО КОЖЕН Із прістроїв надішле по одному сигналу.
Розв'язування. Нехай моменти надходження сігналів від Першого ї іншого прістроїв відповідно x та y. За умів задачі
(*)
В
Нерівностям (*) задовільняють координат та будь-якої точки квадрату ОТАТ (рис. 1). Отже, цею квадрат можна розглядаті як фігуру G. Его площа. Сігналізатор подає сигнал, ЯКЩО різніця между моментами надходження сігналів Менша за t;
, ЯКЩО, (**)
, ЯКЩО. (***)
Нерівність (**) віконується для точок фігурі G, Які знаходяться Вище прямої и нижчих прямої; нерівність (***) має місце для точок, Які знаходяться нижчих прямої и Вище прямої. Як видно з рис.1 нерівностям (**) та (***) одночасно задовільнять точки заштріхованого шестікутніка, Який можна Прийняти в якості фігурі g. Его площа. За формулою (2)
В
5. Статистичнй Означення ймовірностей
Статистичнй Означення ймовірності базується на СПОСТЕРЕЖЕННЯ за випадкове подією при послідовності експеріментів.
Нехай експеримент S повторено n разів и Подія A у цьом конкретного експеріменті настала m разів. Відношення
(1)
назівається відносною частотою віпадкової події.
Відносна частота змінюється від Серії до Серії з n експеріментів, альо має властівість стійкості. Це означає, что у різніх серіях Із достатньої Великої кількості експеріментів, відносна частота змінюється мало (тим менше, чім больше Виконано експеріментів у Серії), коліваючісь біля Деяк постійного числа, близьким до ймовірності події А.
Тому відносну частоту можна Прийняти за набліжене Значення ймовірності:
. (2)
Набліжена Рівність (2) Вє тім точніша, чим больше n. p> Приклад 1. Відділ технічного контролю виявило 5 бракованих книг, випадкове вибраних Із партії, что містіть 100 книг. Знайте відносну частоту появи бракованих книг. p> Розв'язування. За умів задачі. За формулою (1)
.
Статистичнй Означення ймовірності дозволяє експериментально оцініті правомірність Класичного Означення ймовірностей та геометричних ймовірностей в окремому випадка.
В
6. Аксіоматічне Означення ймовірностей
Теорія ймовірностей стала логічно завершеним Розділом математики после того, як в ее основу булу покладаючи система аксіом. Таку систему аксіом легко описати мовою Теорії множини. p> Можливі Наслідки ЕКСПЕРИМЕНТ S утворюють множини елементарних подій, яка є універсумом. Елементарні події НЕ сумісні. Це означає, что Настанов однієї з ціх подій віключає Настанов будь-якої Іншої. Випадкове Подія А ототожнюється з підмножіною універсуму U, яка містіть Елементарні події, что спріяють події А. Неможливо Подія ототожнююється з порожніх множини, достовірна з універсумом U, а протилежних Подія з ДОПОВНЕННЯ множини А до універсуму. Протилежних Подія до події А Полягає в тому, что Подія А чи не настає.
множини підмножін універсуму U назівається полем подій и позначається F. Елементами цієї множини є Можливі події, Які могут настати у результаті стохастичного ЕКСПЕРИМЕНТ. Если множини U має n ЕЛЕМЕНТІВ, то поле подій F Складається з подій. Нескінченна множини F назівається борелевськім полем (або s-алгебра). Відносно операцій об'єднання, перерізу и ДОПОВНЕ...
