ННЯ множини подій F утворює булеву алгебру.
Ототожнення подій з множини дозволяють розв'язування задач Теорії ймовірностей звесті до розв'язування теоретико-множини завдань.
Теоретико-множінні Операції відносно подій мают такий Зміст:
1) - настає або Подія А, або Подія В, у тому чіслі и одночасно;
2) - одночасно настають обідві події А і В;
3) - настає або Подія А, або Подія В, альо НЕ одночасно;
4) - Подія А настає, а Подія В не настає;
5) - ЯКЩО Подія А настає, те обов'язково настає и Подія В.
Ймовірність подій візначається за Колмогорова сукупністю аксіом.
1 Аксіома. Кожній події ставитися у відповідність невід'ємне дійсне число - ймовірність події.
2 Аксіома. Ймовірність достовірної події дорівнює 1:. p> 3 Аксіома. Если А і В несумісні (відповідні множини А і В не перетінаються), то.
Ця система аксіом несуперечливості и є основою елементарної Теорії ймовірностей, яка вівчає скінченні множини подій. При розгляді нескінченної множини подій система аксіом доповнюється ще однією аксіомою:
4 Аксіома - Аксіома неперервності. Для послідовності подій Такої, что ту (порожній множіні), має місце співвідношення
В
Непорожнего множини U Елементарна подій, булева алгебра подій F и множини ймовірністей Р, яка Визначи на F, утворюють у сукупності ймовірнісній простір, Який позначається як трійка.
При аксіоматічному означенні НЕ вікорістовується Поняття рівноможлівості НАСЛІДКІВ, что характерно для Класичного Означення ймовірностей. Аксіоматічна теорія ймовірностей НЕ вірішує питання про конкретні чісельні Значення ймовірностей Елементарна подій. Розв'язування цієї задачі з ймовірнісніх позіцій займається математична статистика.
Приклад 1. При кіданні грального кубика множини елементарних подій, - Віпа и очок. Множини F подій Складається з ЕЛЕМЕНТІВ, среди якіх порожня множини, основна множини U, одноелементні множини, а такоже множини, Які утворені сполучення Із 6елементів по 2, 3, 4, 5 ЕЛЕМЕНТІВ. У допущенні сіметрії грального кубика звітність, пріпісаті однакові ймовірності елементарних подіям:
.
Если кубик НЕ симетричний, то ймовірностям звітність, пріпісаті Різні значення. Нехай методами математичної статистики ВСТАНОВИВ, что
,,,,,.
Тоді ймовірність події - випада НЕ больше двох очок - для симетричного кубика дорівнює, а для несіметрічного -. Ймовірність віпадання непарного числа очок (Подія) для симетричного кубика дорівнює, для несіметрічного. <В
7. Основні співвідношення та теореми Теорії ймовірностей
З аксіом Колмогорова можна здобудуть ВСІ співвідношення елементарної Теорії ймовірностей.
Рівність нормування ймовірностей:
(1)
Доведення. Елементарна подіям співставляються одноелементні множини, Які НЕ перетінаються между собою. Тому Універсум U можна представіті у вігляді
.
Згідно 3-ї аксіомі Колмогорова
.
Згідно 2-ї аксіомі Колмогорова
.
Тому
,
что ї треба Було довести.
Імовірність протілежної події:
. (2)
Доведення. З алгебри множини відоме теоретико-множини співвідношення
.
За 2-ю аксіомою Колмогорова для відповідніх подій можна записатися
.
За 3-ю аксіомою Колмогорова
,
а значити
.
Отже,
.
Імовірність неможлівої події:
. (3)
Доведення. Згідно формули (2) при A = U
.
Теорема додавання ймовірностей несумісніх подій:
. (4)
Доведення. Зх Використання 2-ї аксіомі Колмогорова можна записатися послідовність рівностей
.
Події назіваються суміснімі, ЯКЩО відповідні множини перетінаються:. Если події сумісні, то Настанов однієї з них не віключає возможности Настанов Іншої.
Приклад 1. При кіданні двох гральних кубіків Подія А - Віпа дубль - и Подія В - Віпа непарний кількість очок - є несуміснімі подіямі.
Приклад 2. При кіданні двох гральних кубіків Подія А - Віпа у сумі НЕ больше 6 очок - и Подія В - Віпа у сумі не менше 4 очок - є суміснімі.
Теорема додавання ймовірностей сумісніх подій:
, (5)
та Дві Важливі рівності
, (6)
. (7)
Доведення. Зх діскретної математики відомі Такі теоретико-множінні тотожності:
, (1 *)
, (2 *)
, (3 *)
, (4 *)
. (5 *)
На підставі цього для відповідніх Випадкове подій А і В можна записатися рівності:
, (6 *)
, (7 *)
, (8 *)
, (9 *)
. (10 *)
З рівностей (6 * та 7 *), и того рівності (8 *, 9...
