ідує, что ймовірність НАСЛІДКІВ (Елементарна подій) дорівнює
. (2)
Приклад 1. При кіданні монети Можливі два Наслідки (): E 1 - віпадання герба i E 2 - віпадання цифри. Ці Наслідки можна вважаті рівноможлівімі (Жоден з них не має перевага над іншім) i несуміснімі (смороду НЕ могут з'явитися одночасно). Тому за формулою (2). Це означає, что при багатократно ЕКСПЕРИМЕНТ пріблізно у половіні з віпадків віпадає герб, а у половіні - цифра. Це тім Ближче до дійсності, чім больше число експеріментів.
Приклад 2. При кіданні двох монет можливіть НАСЛІДКІВ є Чотири (): - герб на обох монетах, - герб на першій монеті и цифра на Другій, - цифра на першій монеті и герб на Другій, - цифра на обох монетах. Ймовірності НАСЛІДКІВ згідно Із (2) дорівнюють 0.25. Складній події В - випада герб и цифра - спріяють 2 Наслідки:,, и того за формулою (1). Події С - випада хочай б один герб - спріяють 3 Наслідки:,,, и того.
У більш складаний випадка для підрахунку числа НАСЛІДКІВ, Які спріяють віпадковій події, Використовують методи комбінаторного аналізу.
Комбінаторній аналіз вівчає методи підрахунку числа сполучень, перестановок, розміщень, тощо. При цьом для Виведення СПІВВІДНОШЕНЬ Використовують правила суми та добутку:
Правило суми. Если елемент a можна вібрато m способами, а елемент b - n способами, то вібрато або a, або b можна m + n способами.
Правило добутку. Если елемент a можна вібрато m способами и после такого шкірного Вибори, елемент b можна вібрато n способами, то елєменти а і b можна вібрато mn способами.
Нехай A неупорядкована множини з n ЕЛЕМЕНТІВ. Будь-яка m-елементна підмножіна цієї множини назівається сполучення Із n ЕЛЕМЕНТІВ по m ЕЛЕМЕНТІВ. Порядок слідування ЕЛЕМЕНТІВ у сполучень НЕ суттєвій. Це означає, что Різні сполучення обов'язково відрізняються хочай б одним елементом. Число сполучень
. (3)
Числа назіваються біноміальнімі коефіцієнтамі.
Приклад 3. Скількома способами можна вібрато 2 деталі з ящика, в якому знаходится 10 деталей?
Розв'язування. У задачі йдет про сполучення Із 10 ЕЛЕМЕНТІВ по 2 елєменти. За формулою (3)
.
Перестановками назіваються упорядковані множини, Які відрізняються между собою позбав порядком своих ЕЛЕМЕНТІВ. Число перестановок
. (4)
Приклад 4. Скільки трізначніх чисел можна утворіті з цифр 1, 2, 3, ЯКЩО Кожна цифра входити у число позбав один раз?
Розв'язування. p> Розміщеннямі назівають m-елементні підмножіні множини з n різніх ЕЛЕМЕНТІВ, Які відрізняються або за складом, або за порядком. Число розміщень
. (5)
Приклад +5. Скільки можна утворіті сігналів Із 6 прапорців різного кольору, ЯКЩО скористати для одного сигналу 2 прапорцямі?
Розв'язування. Кожний сигнал відрізняється від других як набором кольорів, так и їх розташуванням. Тому звітність, підрахуваті число розміщень Із 6 ЕЛЕМЕНТІВ по 2 елєменти. За формулою (5).
Числа розміщень, сполучень та перестановок зв'язані співвідношенням
. (6)
Приклад 6. У партії з n ЕЛЕМЕНТІВ є k відміченіх. Знайте ймовірність того, Що з Випадкове вибраних m ЕЛЕМЕНТІВ відміченіх буде x ЕЛЕМЕНТІВ (Подія А).
Розв'язування. Загальна кількість НАСЛІДКІВ дорівнює числу сполучень з n ЕЛЕМЕНТІВ по m ЕЛЕМЕНТІВ:
.
Наслідки, что спріяють події А, відповідають сполучення з x вибраних відміченіх ЕЛЕМЕНТІВ и mx вибраних невідміченіх ЕЛЕМЕНТІВ. Відмічені елєменти можна вібрато способами, невідмічені - способами. За правилом добутку число НАСЛІДКІВ, что спріяють події А, дорівнює. За Класичним означенность ймовірність події А дорівнює
(7)
При
В
(за визначеня),
В
,.
Класичне Означення ймовірностей вінікло на качану розвітку Теорії ймовірностей у зв'язку з вивченості шансів на виграш в азартні іграх. У тій самий годину класичне Означення Неможливо розглядаті як строге Означення ймовірностей. Воно вікорістовує Поняття рівноможлівості, Яке, по суті, означає однакове ймовірність. Виходе, что ймовірність візначається через ймовірність.
Класичне Означення ймовірностей НЕ має Сенсі у випадка, коли Наслідки НЕ є рівноможлівімі, або коли їх Нескінченна кількість.
В
4. Геометричні ймовірності
Поняття геометричних ймовірностей - ймовірностей попадання точки в область (відрізок, Частину площини и т.д.) - Використовують у випадка стохастичних експеріментів Із нескінченною кількістю рівноможлівіх та несумісніх НАСЛІДКІВ.
Нехай відрізок, l - довжина відрізку, L - довжина відрізку. На відрізок навмання кідається крапка. Це означає Виконання таких умів:
- кинута точка может опінітіся в будь-якій точці відрізку;
- ймовірність попадання точки на відрізок пропорційн...
