Якщо В«стандартнаВ» функція унормована до одиниці, то її зрушення записуються у вигляді
(2.6)
Теорема Стренга-Фікса (один з варіантів)
Припустимо, що . У цьому випадку для існує перетворення Фур'є:
пряме зворотне
Припустимо, що для перетворення Фур'є стандартної финитной функції виконано умова
і при (2.7)
(тобто в точках має нулі й кратності).
Тоді існують такі, що при
.
Це означає, що якщо, наприклад, підібрати, у якої умови теореми виконуються для, то апроксимація самої функції має порядок, апроксимація її першої похідної, другий -.
Наявність такої центральній теореми, а також ще ряду доведених стренгами-Фіксом теорем, в Зокрема про існування функцій, що задовольняють умовам (2.7), дає алгоритм для побудови базисних фінітних функцій, що володіють необхідними Апроксимаційні властивостями.
3. B-сплайни Шенберга
У обчислювальної математики B-сплайном називають сплайн-функцію, що має найменший носій для заданої ступеня, порядку гладкості і розбиття області визначення. Фундаментальна теорема встановлює, що будь-яка сплайн-функція для заданої ступеня, гладкості і області визначення може бути представлена ​​як лінійна комбінація B-сплайнів тій же мірі і гладкості на тій же області визначення. [1] Термін B-сплайн був введений І. Шенбергом і є скороченням від словосполучення В«базисний сплайнВ». [2] B-сплайни можуть бути обчислені за допомогою алгоритму де Бора, що володіє стійкістю.
У системах автоматизованого проектування та комп'ютерної графіки термін B-сплайн часто описує сплайн-криву, яка задана сплайн-функціями, вираженими лінійними комбінаціями B-сплайнів.
Коли вузли рівновіддалені один від одного, кажуть, що B-сплайн є однорідним, у Інакше його називають неоднорідним.
Коли кількість вузлів збігається зі ступенем сплайна, B-сплайн вироджується в криву Безьє. Форма базисної функції визначається розташуванням вузлів. Масштабування або паралельний перенесення базисного вектора не впливає на базисну функцію.
Сплайн міститься в опуклій оболонці його опорних точок.
Базисний сплайн ступеня n:.
не звертався в нуль тільки на проміжку [ti, ti + n +1], тобто:
. (3.1)
Іншими словами, зміна однієї опорної точки впливає тільки на локальне поведінка кривої, а не на глобальне, як у випадку кривих Безьє.
Базисна функція може бути отримана з полінома Бернштейна
В-сплайн і деякі найбільш часто використовувані базиси
Теорема Стренга-Фікса вказує на те, що якщо стандартну финитности функцію вибрати виходячи з умови (2.7), то ряд (2.4), побудований на основі її зрушень, буде володіти хорошими Апроксимаційні властивостями.
Шенберг запропонував один цікавий клас функцій, що задовольняють умові (2.7). Функцію називають В-сплайном (Шенберга) ступеня, якщо її перетворення Фур'є має вигляд
. (3.2)
Як бачимо, функція (6.8) задовольняє всім умовам (6.7).
Базис з сходинок
Досить просто показати, що при
В
(3.3)
У цьому випадку базис являє собою набір зрушень (2.5) стандартної сходинки (3.3), а функція являє собою розривну ступінчасту функцію (). Апроксимація за нормою має порядок. Такий базис може бути вибраний в якості другого базису при використанні методу Гальоркіна-Петрова.
Базис з кришок
Розглянемо В-сплайн ступеня:. З цього співвідношення випливає, що виходить як згортка функцій =
Після нескладних перетворень одержуємо:
В
(3.4)
Функція являє собою апроксимацію безперервної ламаною лінією, що має розривні похідні. Апроксимація за нормою має другий порядок, за нормою - перший. Ця апроксимація використовується найбільш часто при вирішенні диференціальних рівнянь другого порядку проекційним методом. Вона призводить до найбільш простих формулах для інтегралів і максимально розрідженій матриці при її обчисленні.
Крім того, у цього базису, з огляду на те, що p = 1, є одна особливість - для функції, що апроксимується значення коефіцієнтів збігаються зі значеннями функції у вузлах сітки, що дозволяє швидко знаходити початкові наближення для.
В-сплайн ступеня представляє собою кусково-поліномінальної кубічний сплайн, який виходить сверткой:
.
(3.5)
В
Розмір носія при збільшився до чотирьох (). Зауважимо, що для забезпечення безперервності другої похідної в точках виконується умова. Як вже зазначалося, апроксимація за нормою має четвертий порядок, за нормою - третій. br/>
Література
1. Роджерс Д., Адамс Дж. Математичні основи машинної графіки. - М.: Мир, 2001. p> 2. Корнійчук, Н.П., Бабенко, В.Ф., Ли...
