p> Рішення
Нехай - даний паралелепіпед з підставами, і бічними ребрами, причому ABCD - квадрат зі стороною a, вершина рівновіддалена від вершин A, B, C і D, а відстань від вершини до площини основи ABCD одно b. Оскільки точка рівновіддалена від вершин квадрата ABCD, вона лежить на перпендикуляр до площини ABCD, що проходить через центр O квадрата. Перпендикуляр, опущений з точки O на бік BC, проходить через її середину M. По теоремі про три перпендикуляри, тому - висота грані. З прямокутного трикутника знаходимо, що
.
Значить,
В
Аналогічно,
В
Якщо S - повна поверхню паралелепіпеда, то
.
7 . Доведіть, що якщо перетин паралелепіпеда площиною є багатокутником з числом сторін, великим трьох, то у цього багатокутника є паралельні сторони.
Доказ
У паралелепіпеда 3 пари паралельних граней. Якщо площина перетинає більше трьох граней, то по крайней мірою дві сторони багатокутника перерізу лежать в протилежних гранях паралелепіпеда. По теоремі про перетин двох паралельних площин третьою ці дві сторони паралельні.
8. У паралелепіпеді грань ABCD - квадрат зі стороною 5, ребро також дорівнює 5, і це ребро утворює з ребрами AB і AD кути. Знайдіть діагональ. p> Рішення
Трикутник - рівносторонній, тому що = AB і. Тому. Аналогічно,. Бічні ребра трикутної піраміди з вершиною рівні між собою, значить, висота цієї піраміди проходить через центр кола, описаного навколо підстави ABD, а тому трикутник ABD прямокутний, то точка O - середина його гіпотенузи BD, тобто центр квадрата ABCD. З прямокутного трикутника знаходимо, що
В
Оскільки, точка рівновіддалена від вершин C і D, тому її ортогональна проекція K на площину підстави ABCD також рівновіддалена від C і D, а значить, лежить на серединному перпендикуляре до відрізка CD. Оскільки | | і =, Чотирикутник - прямокутник, тому OK == 5. Продовжимо відрізок KO до перетину з відрізком AB в точці M. Тоді M - середина AB і MK = MO + OK =. З прямокутних трикутників MKB і знаходимо, що:
В
9 . На ребрі AD і діагоналі паралелепіпеда взяті відповідно точки M і N, причому пряма MN паралельна площині і AM: AD = 1:5. Знайдіть відношення. p> Рішення
Нехай P - центр паралелограма ABCD. Площині і перетинаються по прямій, тому прямі і перетинаються в деякій точці Q, причому
В
По теоремі про перетин двох паралельних площин третьою площині О± і перетинаються по прямій, що проходить через точку E паралельно. Ясно, що точка перетину цієї прямої з прямою і є точка N (пряма MN лежить у площині, паралельній площині). Розглянемо паралелограм. Так як
то <В
10 . Три відрізка, що не лежать в одній площині, мають спільну точку і діляться цією точкою навпіл. Доведіть, що кінці цих відрізків служать вершинами паралелепіпеда.
Рішення
Нехай O - загальна середина відрізків, і. Тоді AB | | і AD | |. Значить, площини ABD і паралельні. Аналогічно, площина паралельна площині. У площинах ABD і візьмемо відповідно точки C і так, що ABCD і - паралелограми. Так як CD | | AB, AB | | та | |, то CD | |. Тому площині і також паралельні. Шестигранник, утворений перетином трьох пар паралельних площин. Отже, це паралелепіпед. br/>
Тести
1. Знайдіть довжину діагоналі прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 2 см, 3 см і 4 см.
Варіанти відповідей:
А
Б
В
Г
Д
см
9 см
см
24 см
см
Рішення
Довжина діагоналі паралелепіпеда дорівнює кореню з суми квадратів його вимірів і складе
2. Порахуйте скільки у прямокутного паралелепіпеда ребер
Варіанти відповідей:
А
Б
В
Г
Д
8
10
12
24
6
3. Багатогранник, складений із двох рівних багатокутників і, розташованих у паралельних площинах, і n паралелограмів ...,, називається:
А) паралелепіпед;
Б) призма;
В) піраміда;
Г) багатогранник;
Д) конус.
4. Перпендикуляр, проведений з якої-небудь точки одного підстави до площині іншого підстави, називається ...
А ) висото...
