нь, что зіставляють одному комплексному числу Інше комплексне число за Деяк ітераційнім правилом. Прикладом фрактала Отримання помощью комплексних відображень є множини Жюліа (мал.7).
2.2 Системи Ітеріруєміх Функцій
У евклідовом просторі відстань (X; y) между точками x = (;) и y = (;) візначається за помощью наступної формули
В
Відстань у просторі можна такоже вімірюваті функцією (x; y) = | - | + | - |.
Дві пріведені Функції, будучи вімірамі відстані, по-різному візначають відстані между двома точками. Існують Чотири основні Властивості Функції відстані:
Гј відстані від точки x до точки y и от точки y до точки x Рівні: d (x; y) = d (у; x);
Гј відстань від точки x до цієї ж точки x дорівнює нулю: d (x; x) = 0;
Гј відстань по прямій - це найкоротша відстань между двома точками: d (x; y) <= D (x; z) + d (z; y);
Гј для двох точок x и у функція відстані має буті дійсною, скінченою и додатного:.
Функція відстані, что задовольняє данім властівостям, назівається метрика . p> метричности простір (X, d) - множини точок X разом з метрикою d, визначеня на X. p> Перетворення - зіставлення, згідно заздалегідь визначеному правилу, точці в одному просторі точки в Іншому (можливо и в тому ж самому просторі).
Відображення , це Перетворення, Яку переводити простір X 1 у простір X 2 и позначається f n : X 1 X 2 . p> Стіснююче відображення - Перетворення в метричній просторі X 1 X 2 за умови Існування коефіцієнта стиснения Перетворення f: 0s <1 такого, что d (f (x 1 ), f (x 2 )) sd (x 1 , x 2 ) для всіх
Система ітеріруєміх функцій (Iterated Function System) Складається з полного метричности простору (X, d) i скінченної множини стіснюючіх відображень f n : X 1 X 2 з коефіцієнтамі стиснения Sn.
2.3 Стіснюючі афінні Перетворення
В
Мал. 8. br/>
Перш чем розкріваті Зміст Поняття - стіснюючі афінні Перетворення, розглянемо Лінійне Перетворення на Комплексній площіні Z, Яку переводити рівносторонній трикутник з Довжину Сторони рівній одініці в рівносторонній трикутник в два рази Меншем розміру подань на малий. 8. br/>
Розглянуто Вище Лінійне Перетворення на Комплексній площіні є окремим випадка афінного Перетворення площини
x n +1 = ax n + by n + e
y n +1 = cx n + dy n + f
ЙОГО можна податі в матричному вігляді
В
Так, Наприклад, Розглянуто Перетворення можна записатися у вігляді
В
У загально випадка афінне Перетворення на площіні задається шістьма Незалежності дійснімі числами. Два числа e и f опісують звичайна трансляцію, а Чотири числа а, b, з, d задають Довільне Лінійне Перетворення при незмінному положенні качану координат (0, 0).
2.4 Метод простої заміні
2.4.1 Серветка Серпінського
Фрактал Серветка Серпінського может буті побудованій як за помощью методу простої заміні, Який застосовують для побудова регулярних фракталів, так и с помощью методу IFS. p> Розглянемо алгоритм побудова, Заснований на методі простої заміні. Правильний трикутник діленій середнімі лініямі на Чотири Рівні ТРИКУТНИК и внутрішність центрального вікідаємо. З трьома ТРИКУТНИК, что залиша, Робимо ті ж самє и так нескінченне число разів. После Певного числа вікідань залішається множини S, представлена ​​на малий. 9, яка є серветки Серпінського. <В
Мал.9.
Фрактальна розмірність серветки Серпінського підраховується по Формулі D = ln3/ln2 = 1,5849. Серветка має Нульовий площу, оскількі неважко перевіріті, что в процесі ее Побудова булу виключ площа, в точності рівна площі віхідного трикутника. Про це ж свідчіть и Значення фрактальної розмірності D <2, яка менше розмірності площини, на якій находится цею об'єкт.
Всім відомій трикутник Паскаля (мал.10) за помощью Якого обчислюють КОЕФІЦІЄНТИ Розкладу вирази виду. Починаючі з трикутника, что Складається з одиниць, обчислюють значення на шкірному Наступний Рівні Шляхом додавання сусідніх чисел; последнего ставлять одиницю. br/>В
Мал.10
Таким чином можна Наприклад візначіті, что:
.
В
Мал.11
цею трикутник можна перетворіті на Привабливий Фрактальна Візерунок (Мал.11), ЯКЩО замініті непарні КОЕФІЦІЄНТИ Одиниця, а парні - нулями. p> Візерунок демонструє Властивості Коефіцієнтів, что вікорістовується при В«АріфметізаціїВ» комп'ютерних програм, что перетворює їх в алгебраїчні рівняння. br/>
2.4.2 Дракон Хартера-Хейтуея
Для більшості регулярних фракталів фрактальна розмірність D Менш, чем розмірн...
