номера. p> Останнє твердження означає, що, якщо число - межа послідовності, то за межами будь-якої його-округа знаходиться лише кінцеве число елементів даної послідовності.
Визначення. Послідовність називається сходящейся , якщо вона має кінцевий межа. Якщо межа не існує або дорівнює, то послідовність називається розбіжної.
З визначення 2 випливає, що послідовність розходиться, якщо для будь-якого числа знайдеться його-околиця, за межами якої лежить нескінченне число елементів послідовності.
Приклад 1. Розглянемо послідовність. Покажемо, що. p> Нехай - довільне позитивне число. Тоді нерівність виконується при всіх, тобто за номер можна прийняти натуральне число, де - ціла частина числа. Оскільки для довільного числа ми змогли визначити номер такий, що при всіх справедливо нерівність, то послідовність сходиться, а її межа дорівнює одиниці, тобто. p> Приклад 2. Послідовність розходиться. p> Дійсно, дана послідовність - це послідовність 1, 0, - 1, 0, 1, 0, - 1, ... Нехай. Якщо, число належить інтервалу, то в-околиця цього числа потраплять лише члени послідовності, рівні нулю, а нескінченне число членів, рівних 1 або - 1, опиняться за межами-околиці. Якщо число належить інтервалу (0,9; 1,1) або (-1,1; - 0,9), то за межами-округа завідомо виявляться всі нульові члени послідовності. При всіх інших значеннях числа в його-околиця не потрапить жодного члена послідовності. Отже яке б число ми не взяли, для заданого знайдеться нескінченне число елементів послідовності, які не належать-округа числа. Отже, розглянута послідовність розходиться. p> Основні властивості збіжних послідовностей.
Теорема 1. Сходящаяся послідовність має тільки один межа. p> Доказ. ( Методом від противного). Припустимо, що послідовність сходиться і має два різних межі, то є і, причому. Візьмемо-околиця числа а, яка не містить b . Так як а - межа послідовності, то за визначенням 2 за межами-округа знаходиться лише кінцеве число елементів даної послідовності і, отже, число b не може бути її межею.
Теорема 2. Якщо всі елементи послідовності дорівнюють одному і тому ж числу, то і межа такій послідовності також дорівнює числу, тобто, якщо, то і. p> Доказ. Розглянемо послідовність. Покажемо, що, то є межа послідовності дорівнює константі. Розглянемо будь-яку-околиця числа С. Всі члени послідовності потраплять в цю околицю, а за її межами не опиниться жодного члена послідовності. Згідно з визначенням 2 це і означає, що число С є межа даної послідовності. p> Теорема 3. Сума, різниця, добуток і частка двох збіжних послідовностей і (приватне за умови, що межа відмінний від нуля) є сходящаяся послідовність, межа якої дорівнює відповідно сумі, різниці, добутку і приватному меж послідовностей і, тобто, якщо
,, то
);
);
),.
Доказ. Доведемо властивість 1) для суми двох збіжних послідовностей, тобто доведемо, що. Візьмемо будь-яке позитивне число. Оскільки, то для позитивного числа існує номер такий, що при всіх виконується нерівність. Аналогічно, так як то для позитивного числа існує номер такий, що при всіх виконується нерівність. Позначимо. Тоді при всіх справедливо
.
Це й означає, що, що й потрібно було довести.
Слідство. Постійний множник можна виносити за знак межі, тобто
, де.
Теорема 4. Сходящаяся послідовність обмежена. p> Теорема 5. Твір нескінченно малою послідовності на обмежену послідовність є нескінченно малою послідовністю. p> Тобто, якщо, а послідовність {} - обмежена, то.
Доказ. Нехай {} - нескінченно мала, а {} - обмежена послідовності. Потрібно довести, що послідовність - нескінченно мала послідовність. Так як {} - обмежена, то існує позитивне число таке, що для всіх членів послідовності справедливо нерівність. Візьмемо будь-яке позитивне число. Оскільки {} - нескінченно мала, то для позитивного числа існує номер такий, що при всіх виконується нерівність. Тоді при всіх справедливо
.
Це означає, що послідовність - нескінченно мала.
Приклад. Послідовність - нескінченно мала як добуток обмеженої послідовності і нескінченно малою. Отже,. p> Теорема 6. Якщо послідовність {} - нескінченно велика, то, починаючи з деякого номера, визначено послідовність, яка є нескінченно малою. Якщо всі елементи нескінченно малої послідовності не рівні нулю, то послідовність - нескінченно велика. p> (Без доведення).
Теорема 7 (про три послідовностях). Нехай послідовності і сходяться і мають загальний межа, тобто. Нехай, крім того, починаючи з деякого номера, елементи послідовності задовольняють нерівності. Тоді послідовність також сходиться і має межу, тобто. p> Граничні точки послідовності
Визначення. Точка нескінченній прямій називається граничною точкою послідовності, якщо в будь-околиці цієї точки ...
