меж нескінченний, то - точка розриву другого роду. В
Глава 2. Диференціальне числення
В
2.1 Визначення похідної
Визначення похідної
Похідна або від даної функції є межа відносини приросту функції до відповідного приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:
або.
Механічний зміст похідної - швидкість зміни функції. Геометричний зміст похідної - тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції:
В
2.2 Основні правила диференціювання
Найменування
Функція
Похідна
Множення на постійний множник
В В
Алгебраїчна сума двох функцій
В В
Твір двох функцій
В В
Приватне двох функцій
В В
Складна функція
В В
Похідні основних елементарних функцій
№ п/п
Найменування функції
Функція та її похідна
1
константа
В
2
статечна функція
приватні випадки
В
3
показова функція
окремий випадок
В
4
логарифмічна функція
окремий випадок
В
5
В
тригонометричні функції
В
6
зворотні
тригонометричні
функції
В
Приклад 17
а)
б)
в)
В В
2.3 Похідні вищих порядків
Похідна другого порядку функції
Похідна другого порядку функції:
В
Приклад 18. p> а) Знайти похідну другого порядку функції.
Рішення. Знайдемо спочатку похідну першого порядку. p> Від похідної першого порядку візьмемо ще раз похідну.
Приклад 19. Знайти похідну третього порядку функції.
Рішення. br/>
.
В
2.4 Дослідження функцій
В
2.4.1 План повного дослідження функції:
План повного дослідження функції:
1. Елементарне дослідження:
- знайти область визначення і область значень;
- з'ясувати загальні властивості: парність (непарність), періодичність;
- знайти точки перетину з осями координат;
- визначити ділянки знакопостоянства.
2. Асимптоти:
- знайти вертикальні асимптоти, якщо;
- знайти похилі асимптоти:.
Якщо будь-яке число, то - горизонтальні асимптоти.
3. Дослідження за допомогою:
- знайти критичні точки, ті. точки в яких або не існує;
- визначити інтервали зростання, ті. проміжки, на яких і спадання функції -;
- визначити екстремуми: точки, при переході через які змінює знак з В«+В» на В«-В», є точками максимуму, з В«-В» на В«+В» - мінімуму.
4. Дослідження за допомогою:
- знайти точки, в яких або не існує;
- знайти ділянки опуклості, тобто проміжки, на яких і угнутості -;
- знайти точки перегину, тобто точки при переході через які змінює знак.
5. Побудова графіка функції.
Рекомендації щодо застосування плану дослідження функції:
1. Окремі елементи дослідження наносяться на графік поступово, по мірі їх знаходження. p> 2. Якщо з'являються труднощі з побудовою графіка функції, то знаходяться значення функції в деяких додаткових точках. p> 3. Метою дослідження є опис характеру поведінки функції. Тому будується не точний графік, а його наближення, на якому чітко позначені знайдені елементи (екстремуми, точки перегину, асимптоти і т.д.). p> 4. Строго дотримуватися наведеного плану необов'язково; важливо не упустити характерні елементи поведінки функції.
В
2.4.2 Приклади дослідження функції:
20. . br/>
1)
2) Функція непарна:
.
3) Асимптоти.
- вертикальні асимптоти, тому що br/>В В В
Похила асимптота.
В В В
5)
В В
- точка перегину.
В
Схемний графік даної функції:
В
21. br/>
1)
2) Функція непарна:
В
3) Асимптоти: Вертикальних асимптот немає. p> Похилі:
В
- похилі асимптоти
4) - функція зростає.
5),
- точка перегину.
Схемний графік даної функції:
В
22. br/>
1)
2) Функція загального вигляду
3) Асимптоти <...
