/p>
В
- похилих асимптот немає
В
- горизонтальна асимптота при
4)
В
В
В
- точка перегину
В
Схемний графік даної функції:
В
23. br/>
1)
2) Асимптоти. p> - вертикальна асимптота, тому що
В
- похилих асимптот немає
, - горизонтальна асимптота
Схемний графік даної функції:
В
24. br/>
1)
2) Асимптоти
- вертикальна асимптота при, тому що br/>В
- похилих асимптот немає
, - горизонтальна асимптота
3) - функція спадає на кожному з проміжків.
Схемний графік даної функції:
В
2.4.3 Найбільше і найменше значення функції на відрізку
Щоб знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку можна скористатися схемою:
1. Знайти похідну функції.
2. Знайти критичні точки функції, в яких або існує.
3. Знайти значення функції в критичних точках, що належать заданому відрізку і на його кінцях і вибрати з них найбільше і найменше.
Приклад. Знайти найменше та найбільше значення функції на даному відрізку.
25. на проміжку
1)
2) - критичні точки
3),
-
-
В
26. на проміжку.
В
Похідна не існує при, але 1 не належить даному проміжку. Функція спадає на проміжку, значить, найбільшого значення немає, а найменше значення.
2.5 Правило Лопиталя
Теорема. Межа відносини двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій дорівнює границі відносини їх похідних (кінцевому або нескінченному), якщо останній існує у зазначеному сенсі.
Тобто при розкритті невизначеностей виду або можна використовувати формулу:
.
Прімери.
27. p> 28. <В
Глава 3. Інтегрально числення
В
3.1 Невизначений інтеграл
В
3.1.1 Визначення і властивості
Визначення 1. Функція називається первісною для, якщо. p> Визначення 2. Невизначеним інтегралом від функції f (x) називається сукупність всіх первісних для цієї функції. p> Позначення:, де c - довільна постійна.
Властивості невизначеного інтеграла
1. Похідна невизначеного інтеграла:
2. Диференціал невизначеного інтеграла:
3. Невизначений інтеграл від диференціала:
4. Невизначений інтеграл від суми (різниці) двох функцій:
;
5. Винесення постійного множника за знак невизначеного інтеграла:
В
3.1.2 Таблиця інтегралів
В В В В В
3.1.3 Основні методи інтегрування
1. Використання властивостей невизначеного інтеграла.
Приклад 29.
В В
2. Підведення під знак диференціала.
Приклад 30. br/>В
3. Метод заміни змінної:
а) заміна в інтегралі
:
,
де - функція, інтегрована легше, ніж вихідна; - функція, зворотна функції; - первообразная функції.
Приклад 31.
В В
б) заміна в інтегралі види:
В
;
Приклад 32. br/>В В
Приклад 33. br/>В В
4. Метод інтегрування по частинах:
В
Приклад 34.
В В
Приклад 35.
В В
Візьмемо окремо інтеграл
В В
Повернемося до нашому інтегралу:
В В
3.2 Певний інтеграл
В
3.2.1 Поняття визначеного інтеграла і його властивості
Визначення. Нехай на деякому інтервалі задана безперервна функція. Побудуємо її графік. br/>В
Фігура, обмежена зверху кривою, ліворуч та праворуч прямими і знизу відрізком осі абсцис між точками a і b, називається криволінійної трапецією.
S - область - криволінійна трапеція.
Розділимо інтервал точками і отримаємо:
В
Інтегральна сума:
В В
Визначення. Певним інтегралом називається границя інтегральної суми.
Властивості визначеного інтеграла:
1. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:
В
2. Інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів цих функцій:
В
3. Якщо відрізок інтегрування розбитий на частини, то інтеграл на всьому відрізку дорівнює сумі інтегралів для кожної з виниклих частин, тобто за будь-яких a, b, c:
В
4. Якщо на відрізку, то і
В
5. Межі інтегрування можна міняти місцями, при цьому змінюється знак інтеграла:
6. br/>
7. Інтеграл в точці дорівнює 0:
В
8. br/>
9. ("Про середню") Нехай y = f (x) - функція, інтегрована на [a, b]. Тоді, де, f (c) - середнє значення f (x) на [a, b]:
В
10. Формула Ньютона-Лейбніца
,
де F (x) - первісна для...
