цій дорівнює добутку меж цих опцій:
В
4. Межа ступеня дорівнює ступеню межі:
В
5. Межа приватного дорівнює приватному меж, якщо межа дільника існує:
.
6. Перший чудовий межа. br/>
.
Наслідки:
В
7. Другий чудовий межа:
В
Наслідки:
В
Еквівалентні нескінченно малі величини при:
В
Обчислення меж.
При обчисленні меж використовують основні теореми про межі, властивості неперервних функцій і правила, випливають з цих теорем та властивостей.
Правило 1. Щоб знайти межу в точці функції, неперервної в цій точці, треба в функцію, що стоїть під знаком границі, замість аргументу x підставити його граничне значення.
Приклад 2. Знайти
В
Правило 2. Якщо при знаходженні межі дробу межа знаменника дорівнює нулю, а межа чисельника відмінний від нуля, то межа такої функції дорівнює.
Приклад 3. Знайти
В
Правило 3. Якщо при знаходженні межі дробу межа знаменника дорівнює, а межа чисельника відмінний від нуля, то межа такої функції дорівнює нулю.
Приклад 4. Знайти
В
Часто підстановка граничного значення аргументу призводить до невизначеним виразами виду
.
Знаходження межі функції в цих випадках називається розкриттям невизначеності. Для розкриття невизначеності доводиться, перш ніж перейти до межі, проводити перетворення даного виразу. Для розкриття невизначеностей використовують різні прийоми. p> Правило 4 . Невизначеність виду розкривається шляхом перетворення подпредельной функції таким чином, щоб в чисельнику і знаменнику виділити множник, межа якого дорівнює нулю, і, скоротивши на нього дріб, знайти межу приватного. Для цього чисельник і знаменник або розкладають на множники, або домножают на зв'язані чисельника і знаменника виразу.
Приклад 5. br/>В
Приклад 6. br/>В
Правило 5. Якщо подпредельное вираз містить тригонометричні функції, тоді, щоб розкрити невизначеність вигляду використовують перший чудовий межа.
Приклад 7. br/>В
.
Приклад 8.
В
Правило 6 . Щоб розкрити невизначеність виду при, чисельник і знаменник подпредельной дробу необхідно розділити на вищу ступінь аргументу і знаходити далі межа приватного.
Можливі результати:
1) шуканий межа дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших ступенях аргументу чисельника і знаменника, якщо ці ступеня однакові;
2) межа дорівнює нескінченності, якщо ступінь аргументу чисельника вище ступеня аргументу знаменника;
3) межа дорівнює нулю, якщо ступінь аргументу чисельника нижче ступеня аргументу знаменника.
Приклад 9.
а)
тому br/>
Ступені рівні, значить, межа дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших ступенях, тобто . br/>
б)
Ступінь чисельника, знаменника - 1, значить, межа дорівнює
в)
Ступінь чисельника 1, знаменника -, значить, межа дорівнює 0.
Правило 7 . Щоб розкрити невизначеність виду, чисельник і знаменник подпредельной дробу необхідно домножити на поєднане вираз.
Приклад 10. br/>В В
Правило 8 . Щоб розкрити невизначеність виду використовують другий чудовий межа і його слідства.
Можна довести, що
В
Приклад 11.
В
Приклад 12. br/>В
Приклад 13.
В
Правило 9 . При розкритті невизначеностей, подпредельная функція яких містить Б.М.В., необхідно замінити межі цих б.м. на межі б.м., еквівалентних їм.
Приклад 14.
В В
Приклад 15. br/>В В
Правило 10. Правило Лопиталя (див. 2.6). br/>
1.3 Безперервність функції
Функція неперервна в точці, якщо межа функції при прагненні аргументу до a, існує і дорівнює значенню функції в цій точці. p> Еквівалентні умови:
1. ; p> 2. p> 3. p> 4. br/>
Класифікація точок розриву:
розрив I роду p> - усувний - Односторонні межі існують і рівні;
- непереборний (стрибок) - односторонні межі не рівні;
розрив II роду: межа функції в точці не існує. p> Приклад 16. Встановити характер розриву функції в точці або довести безперервність функції в цій точці.
а)
при функція не визначена, отже, вона не неперервна в цій точці. Т.к. і, відповідно,, то - точка усувного розриву першого роду.
б)
порівняно із завданням (а) функція Довизначивши в точці так, що, значить, дана функція неперервна в даній точці.
в)
При функція не визначена;
.
Т.к. один з односторонніх ...
