діз'юнктних безлічі
Y = O 1 O 2 .
У силу того, що f безперервне відображення і f ( X ) = Y , прообрази G < sub> 1 = f -1 ( O 1 ) і G 2 = f -1 ( O 2 ) будуть непорожніми діз'юнктнимі відкритими множинами, які в сумі дають всі простір Х , що суперечить його зв'язності. €
1.3. Компактність топологічних просторів
Визначення 8. Топологічний простір називається компактним , якщо всяке покриття цього простору відкритими множинами містить кінцеве підпокриття.
Визначення 9. Безліч А в топологічному просторі Х називається компактним , якщо воно компактно в індукованої топології як підпростір.
Теорема 1.6. Підмножина А топологічного простору Х компактно тоді і тільки тоді, коли з будь-якого його покриття множинами, відкритими в Х, можна вибрати кінцеве підпокриття.
Теорема 1.7. Замкнута підмножина А компактного простору Х компактно.
Доказ. У силу теореми 1.6, досить з довільного покриття множини А відкритими в Х множинами вибрати кінцеве підпокриття. Для цього додамо до цих множинам відкрите безліч Х А і отримаємо відкрите покриття всього простору Х . У силу компактності простору Х , з цього покриття можна виділити кінцеве підпокриття, причому ми завжди можна вважати, що в цей підпокриття входить безліч Х А . Нехай, наприклад, p>.
Очевидно, що множини утворюють шукане кінцеве підпокриття безлічі А . €
Визначення 10. Топологічний простір називається хаусдорфовим , якщо будь-які дві його різні точки володіють непересічними околицями.
Теорема 1.8. Компактний підмножина А хаусдорфова простору Х замкнуто.
Теорема 1.9. Безперервний образ компактного простору компактний, тобто якщо f : Х в†’ Y - безперервне відображення і простір Х компактно, то і безліч f ( Х ) компактно.
Доказ теорем 1.6 - 1.9 можна знайти в [2].
В§ 2. Зв'язність безперервних відображень
2.1. Визначення зв'язності відображення і найпростіші властивості
Нехай f : Х в†’ Y - безперервне відображення. Для відкритого в Y безлічі U і точки y ГЋ Y прообраз f -1 ( U ) називається трубкою ( над U ), а прообраз f -1 ( y ) називається шаром ( над точкою y ).
Визначення 11. . Безперервне відображення f : Х в†’ Y називається незв'язним н...
