ірів ... - все це для встановлення ідей, здатних скорочувати міркування і грунтуються на реальностях.
Не слід все ж уявляти, що наука про нескінченному принижується цим поясненням і зводиться до фікціям, бо постійно залишається, кажучи мовою схоластики, сінкатегорематіческая нескінченність. Наприклад, залишається вірним, що 2 дорівнює 1/1 +1/2 +1/4 +1/8 +1/16 +1/32 і т. д., що є нескінченний ряд, в якому містяться відразу всі дробу з чисельником 1 і із знаменниками, що утворюють подвоювати геометричну прогресію, хоча тут вживають весь час лише звичайні числа і хоча не запроваджують ніякої нескінченно малою дробу або дробу з нескінченним знаменником ... Правила кінцевого зберігають силу в нескінченному, як якщо б існували атоми ..., хоча вони зовсім не існують, тому що матерія в дійсності ділена без кінця і, навпаки, правила нескінченного зберігають силу в кінцевому, як якби були метафізичні нескінченно малі, хоча в них і немає потреби і хоча поділ матерії ніколи не приходить до нескінченно малим частинкам. Це пояснюється тим, що все управляється розумом і що інакше зовсім не було б ні науки, ні правила, а це не узгоджувалося б з природою верховного начала ". (Це висловлювання Лейбніца можна при бажанні розглядати як формулювання принципу переносу, що дає ще одну підставу називати його також "принципом Лейбніца".)
"... незрівняним величинами я називаю такі, одна з яких ніколи не зможе перевершити іншу, на яке кінцеве число її б ні помножили, так само як це розуміє Евклід ... ". p> Наведемо ще кілька цитат (на цей раз відсутніх у монографії Робінсона).
"... новий Аналіз нескінченних розглядає не лінії і не числа, але величини взагалі, як це робить звичайна Алгебра. Цей Аналіз містить новий алгоритм, тобто новий спосіб складати, віднімати, множити, ділити, витягувати коріння, відповідний незрівняним величинам, тобто тим, які нескінченно великі або нескінченно малі в порівнянні з іншими ... "
Методи Лейбніца панували в Європі протягом більш ніж 50 років. Проте в другій половині XVIII століття почалися пошуки альтернативних шляхів побудови аналізу. Лагранж пропонував розглядати розкладання функцій у степеневі ряди, припускаючи, що будь-яка або майже будь-яка функція може бути розкладена в такий ряд. Даламбер пропонував поняття межі в якості вихідного для побудови математичного аналізу. Він писав:
"Кажуть, що одна величина лявляется межею інший, якщо друга може наблизитися до першої ближче, ніж на будь-яку задану величину ... Теорія меж є підставою справжньої Метафізики диференціального числення ... У диференціальному численні йдеться не про нескінченно малих величинах, як це зазвичай стверджують; йдеться лише про переділах кінцевих величин ... Терміном "нескінченно малаВ» користуються лише як скороченням ... В»
Ці висловлювання Даламбера виглядають як виклад сучасної точки зору на межі. Можна було б припустити, що з цього часу поняття нескінченно малих буде повністю усунуто. Це, проте,...
