> n нерозв'язно в радикалах, тобто не існує формули, що виражає його коріння через коефіцієнти за допомогою арифметичних операцій і вилучення коренів натуральної ступеня.
Після того як в XIX ст з'явилося наочне геометричне зображення комплексних чисел за допомогою точок площини і векторів на площині (Гаусс в 1831 р, Вессель в 1799 г, Арган в 1806 г), стало можливим зводити до комплексним числах і рівнянням для них багато завдань природознавства, особливо гідро-і аеродинаміки, електротехніки, теорії пружності і міцності, а також геодезії і картографії. З цього часу існування В«уявнихВ», або комплексних чисел стало загальновизнаним фактом і вони отримали таку ж реальний зміст, як і числа дійсні. До теперішнього часу вивчення комплексних чисел розвинулося в найважливіший розділ сучасної математики - теорію функцій комплексного змінного (ТФКЗ).
В В
III /Алгебраїчні дії над комплексними числами та їх геометричний зміст.
В
1. Основні поняття і арифметичні дії над комплексними числами.
Логічно строгу теорію комплексних чисел побудував у XIX в (1835 р) ірландський математик Вільям Роумен Гамільтон. За Гамільтону комплексні числа - це впорядковані пари z = (x, y) дійсних чисел, для яких такий спосіб визначено операції додавання і множення:
(x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x < sub> 1 + x 2 , y 1 + y 2 ); (1)
(x 1 , y 1 ) в€™ (x 2 , y 2 ) = (x < sub> 1 в€™ x 2 - Y i y 2 , x i y 2 + X 2 y 1 ). (2)
Дійсні числа x і y називаються при цьому дійсної та уявної частинами комплексного числа z = (x, y) і позначаються символами Rez і Imz відповідно (real - дійсний, imanginerum - Уявний). p> Два комплексних числа z 1 = (x 1 , y 1 ) і z 2 = (x 2 , y 2 ) називаються рівними тільки в тому випадку, коли x 1 = x 2 і y 1 = y 2 . З визначення випливає, що всяке комплексне число (x, y) може бути представлене в наступному вигляді: (x, y) = (x, 0) + (0,1) (y, 0). (3)
Числа виду (х, 0) ототожнюються з дійсними числами х, тобто (Х, 0) = х, число (0,1), зване уявної одиницею, позначається символом i, тобто (0,1) = i, причому i 2 = -1, рівність (3) приймає вигляд z = x + iy і називається алгебраїчної формою запису комплексного числа z = (x, y).
Операції додавання і множення комплексних чисел мають такі характеристики:
а) z 1 + z 2 = z 2 + z 1 (Переместітельний закон або комутативність додавання і множення)
б) z 1 z 2 = z 2 z 1
в) z ...
