тричні демонстрації) ірраціональності твори, приватного і результатів інших математичних перетворень над ірраціональними і раціональними числами. Ал Хазін (900 р. н.е. - 971 р. н.е.) подає таке визначення раціональної та ірраціональної величини:
Нехай одинична величина міститься в даній величині один або кілька разів, тоді ця [дана] величина відповідає цілому числу ... Кожна величина, яка становить половину, або третину, або чверть одиничної величини, або, порівняння з одиничною величиною становить три п'ятих від неї, це раціональна величина. І в цілому, всяка величина, яка відноситься до одиничної як одне число до іншого, є раціональною. Якщо ж величина не може бути представлена ​​як кілька або частину (l/n), або декілька частин (m/n) одиничної довжини, вона ірраціональна, тобто невимовна інакше як за допомогою коренів. p align="justify"> Багато з цих ідей були пізніше перейняті європейськими математиками після переведення на латинь арабських текстів у XII столітті. Аль Хассар, арабська математик з Магрибу, спеціалізувався на ісламських законах про спадщину, в XII столітті ввів сучасну символьну математичну нотацію для дробів, розділивши чисельник і знаменник горизонтальній рисою. Та ж нотація з'явилася потім у роботах Фібоначчі в XIII столітті. Протягом XIV-XVI ст. Мадхава з Сангамаграми і представники Керальской школи астрономії та математики досліджували нескінченні ряди, що сходяться до деяких ірраціональним числам, наприклад, до ?, а також показали ірраціональність деяких тригонометричних функцій. Джестадева навів ці результати в книзі Йуктібхаза.
У XVII столітті в математиці міцно зміцнилися комплексні числа, внесок у вивчення яких внесли Абрахам де Муавр <# "justify"> Ланцюгові дроби <# "justify"> У 1761 року Ламберт показав, що < span align = "justify">? не може бути раціонально, а також що en ірраціонально при будь-якому ненульовому раціональному n. Хоча доказ Ламберта можна назвати незавершеним, прийнято вважати його досить суворим, особливо враховуючи час його написання. Лежандр в 1794 році, після введення функції Бесселя-Кліффорда, показав, що ? ВІ ірраціонально, звідки ірраціональність < span align = "justify">? слід тривіально (раціональне число у квадраті дало б раціональне). Існування трансцендентних чисел було доведено Ліувілль <# "justify">?. Доказ Ліндеманна було потім спрощено Вейерштрасом в 1885 році, ще більш спрощено Давидом Гільбертом <# "justify"> Властивості
Всяке дійсне число <# "justify"> Ірраціональні числа визначають дедекіндових перерізу <# "justify"> Кожне трансцендентне число <# "justify"> Кожне ірраціональне число є або алгебраїчним <# " justify"> Безліч ірраціональних чисел всюди щі...
