е Евдокс Кнідський <# "justify"> Оскільки ніяке кількісне значення не співставляє величиною, Евдокс зміг охопити і сумірні, і несумірні величини при визначенні дробу як відносини двох величин, і пропорції як рівності двох дробів. Прибравши з рівнянь кількісні значення (числа), він уникнув пастки, що складається в необхідності назвати ірраціональну величину числом. Теорія Евдокса дозволила грецьким математикам зробити неймовірний прогрес в геометрії, надавши їм необхідне логічне обгрунтування для роботи з непорівнянними величинами. В«Книга 10 ЕлементівВ» Евкліда присвячена класифікації ірраціональних величин. p align="justify"> Середні століття ознаменувалися прийняттям таких понять як нуль, негативні числа, цілі і дробові числа, спершу індійськими, потім китайськими математиками. Пізніше приєдналися арабські математики, які першими стали вважати негативні числа алгебраїчними об'єктами (поряд і на рівних правах з позитивними числами), що дозволило розвинути дисципліну, нині звану алгеброю. p align="justify"> Арабські математики з'єднали давньогрецькі поняття В«числаВ» і В«величиниВ» в єдину, більш загальну ідею дійсних чисел. Вони критично ставилися до уявлень Евкліда про відносини, на противагу їй вони розвинули теорію відносин довільних величин та розширили поняття числа до відносин безперервних величин. У своїх коментарях на Книгу 10 Елементів Евкліда, перський математик Аль Махане (ок 800 рр.. Н. Е..) Досліджував і класифікував квадратичні ірраціональні числа (числа виду) і більш загальні кубічні ірраціональні числа. Він дав визначення раціональним і ірраціональним величинам, які він і називав ірраціональними числами. Він легко оперував цими об'єктами, але міркував як про відокремлені об'єктах, наприклад:
Раціональної [величиною] є, наприклад, 10, 12, 3%, 6% і так далі, оскільки ці величини вимовлені і виражені кількісно. Що не раціонально, то ірраціонально, і неможливо вимовити або представити відповідну величину кількісно. Наприклад, квадратні корені чисел таких так 10, 15, 20 - не є квадратами. p align="justify"> На противагу концепції Евкліда, що величини суть в першу чергу відрізки прямих, Аль Махане вважав цілі числа і дроби раціональними величинами, а квадратні і кубічні корені - ірраціональними. Він також ввів арифметичний підхід до безлічі ірраціональних чисел, оскільки саме він показав ірраціональність наступних величин: результат додавання ірраціональної величини і раціональної, результат віднімання раціональної величини з ірраціональної, результат віднімання ірраціональної величини з раціональною. p align="justify"> Єгипетський математик Абу Каміл (бл. 850 р. н. е.. - бл. 930 р. н.е.) був першим, хто визнав прийнятним визнати ірраціональні числа рішенням квадратних рівнянь або коефіцієнтами в рівняннях - в основному, у вигляді квадратних або кубічних коренів, а також коренів четвертого ступеня. У X столітті іракський математик Аль Хашимі вивів загальні докази (а не наочні геоме...
