льно на числовій прямій: між будь-якими двома числами мається ірраціональне число.
Безліч ірраціональних чисел незліченно <# "justify"> Теореми
Корінь з 2 - ірраціональне число
Припустимо противне: раціональний <# "justify" height = "30" src = "doc_zip7.jpg"/> , де m і n - цілі числа <#" justify"> ірраціональний трансцендентний число теорема
.
Звідси випливає, що m2 парне, значить, четно і m. Нехай m = 2r, де r ціле. Тоді
В
Отже, n2 парне, значить, четно і n. Ми отримали, що m і n парне, що суперечить нескоротних дробу . Значить, вихідне припущення було невірним, і - ірраціональне чісло.23 - ірраціональне число
Припустимо противне: log 23 раціональний <# "justify" height = "30" src = "doc_zip14.jpg"/> , де m і n - цілі числа <# "justify">
Але 2m парне, а 3n непарній. Отримуємо протиріччя. - Ірраціональне число
Інші ірраціональні числа
Ірраціональні числа ж (3) <# "justify"> Ірраціональними є:
для будь-якого натурального n, яка не є точним квадратомдля будь-якого раціонального x для будь-якого позитивного раціонального
?, а також ? n для будь-якого натурального n
2. Трансценд ? нтное число ?
Трансценд ? нтное число ? < span align = "justify"> (від лат. Transcendere - переходити, перевершувати) - це речовий <# "justify"> Властивості
Безліч <# "justify"> Кожне трансцендентне дійсне число <# "justify" height = "21" src = "doc_zip20.jpg"/> - ірраціональне , але не трансцендентне: воно є коренем многочлена (і тому є алгебраїчним).
Приклади
Підстава натуральних логарифмів <# "justify"> Кількість <# "justify"> Десятковий логарифм < # "justify" height = "16" src = "doc_zip24.jpg"/> .
, і , для будь-якого ненульового алгебраїчного числа < # "justify" height = "9" src = "doc_zip28.jpg"/> (по теоремі Лінде...
