чень [5 <= x <= 5] наведена в задачнику Гмурмана в Додатку 2, стор.326-327. Для значень, великих 5 вважаємо Ф (х) = 0,5. p> Оскільки функція Лапласа непарна Ф (-х) =-Ф (х), то для негативних значень (х) користуємося тієї самої таблицею, лише значення функції беремо зі знаком мінус. В
Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини
біномінальної закон розподілу.
Дискретна - випадкова величина, можливі значення якої є окремі ізольовані числа, які ця величина приймає з певними ймовірностями. Іншими словами, можливі значення дискретної випадкової величини можна пронумерувати.
Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим або нескінченним.
Дискретні випадкові величини позначаються великими літерами Х, а їх можливі значення - малими х1, х2, х3 ...
Наприклад .
Х - число очок, що випали на гральної кістки; Х приймає шість можливих значень: х1 = 1, х2 = 1, х3 = 3, х4 = 4, х5 = 5, х6 = 6 з імовірностями р1 = 1/6, р 2 = 1/6, р 3 = 1/6 ... Р6 = 1/6.
Законом розподілу дискретної випадкової величини називають перелік її можливих значень і відповідних їм ймовірностей.
Закон розподілу може бути заданий:
1. у вигляді таблиці.
2. Аналітично - у вигляді формули. p> 3. графічно. У цьому випадку в прямокутній системі координат ХОР будуються точки М1 (х1, р1), М2 (х2, р2), ... Мn (хn, р n). Ці точки з'єднують відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу . p> Для написання закону розподілу дискретної випадкової величини (х), треба перерахувати всі її можливі значення і знайти відповідні їм ймовірності.
Якщо відповідні їм ймовірності знаходяться за формулою Бернуллі, то такий закон розподілу називається біноміальним. p> Приклад № 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.
Числові значення дискретних випадкових величин.
Математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення.
Характеристикою середнього значення дискретної випадкової величини служить математичне очікування.
Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума добутків всіх її можливих значень на їх ймовірності. Тобто якщо задано закон розподілу, то математичне сподівання
В
Якщо число можливих значень дискретної випадкової величини нескінченно, то
В
Причому ряд, що стоїть в правій частині рівності, сходиться абсолютно, і сума всіх ймовірностей рi дорівнює одиниці.
Властивості математичного сподівання.
1. М (С) = С, С = пост. p> 2. М (Сх) = СМ (х)
3. М (х1 + х2 + ... + хn) = М (х1) + М (х2) + ... + М (хn)
4. М (х1 * х2 * ... * хn) = М (х1) * М (х2) * ... * М (хn). br/>
5. Для біномного закону розподілу математичне очікування знаходиться за формулою:
М (х) = n * р
Характеристикою розсіювання можливих значень випадково величини навколо математичного сподівання служать дисперсія і середнє квадратичне відхилення.
Дисперсією дискретної випадкової величини (х) називають математичне сподівання квадрата відхилення. Д (х) = М (х-М (х)) 2 . p> Дисперсию зручно обчислювати за формулою: Д (х) = М (х 2 ) - (М (х)) 2 . p> Властивості дисперсії.
1. Д (С) = 0, С = пост. p> 2. Д (Сх) = С 2 Д (х)
3. Д (х1 + х2 + ... + хn) = Д (х1) + Д (х2) + ... + Д (хn)
4. Дисперсія біномного закону розподілу
Д (х) = nрq
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називають квадратний корінь з дисперсії. br/>В
приклади. 191, 193, 194, 209, д/з. p> Інтегральна функція розподілу (ІФР, ФР) ймовірностей неперервної випадкової величини (НСВ). Безперервна - Величина, яка може приймати всі значення з деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Число можливих значень НСВ естьі його неможливо перенумерувати. p> Наприклад .
Відстань, яку пролітає снаряд при пострілі, є НСВ.
ІФР називають функцію F (x), визначає для кожного значення х ймовірність того, що НСВ Х прийме значення Х <х, тобто F (x) = Р (X Часто замість ІФР говорять ФР.
Геометрично, рівність F (x) = Р (X
Властивості ІФ.
1. Значення ІФ належить проміжку [0; 1], тобто F (x). p> 2. ІФ є неубутна функція, тобто х2> х1,.
Слідство 1. Ймовірність того, що НСВ Х прийме значення, укладену в інтервалі (а, в), дорівнює приросту інтегральної функції на цьому інтервалі, тобто br/>
P (a
Слідство 2. Ймовірність того, що НСВ Х прийме одне певне значення, наприклад, х1 = 0, дорівнює 0, тобто Р (х = х1) = 0....
