(3) і (4) у вихідні рівняння рівноваги і умова пластичності, отримаємо:
рівняння рівноваги
(5)
умова пластичності
,
Після перетворень отримаємо:
(6)
. допущення
Розподіл нормальних напружень визначають тільки для контактної поверхні, відмовляючись від розподілу напружень всередині тіла.
Таким чином, напруга всередині тіла вважаємо таким же як і на контактній поверхні, тоді не залежить від координати z, і похідна
. (7)
. допущення
Дотичні напруження, викликані тертям на контактній поверхні, вважаємо ізотропними.
Тому тертя вважаємо незалежним від x, отже
(8)
4. допущення
Дотичні напруження змінюються в глибину тіла, тобто вздовж координати z, за лінійним законом.
Тому на контактній поверхні,
на середині заготовки напруги переходять через 0, з цього випливає:
. (9)
Напруга залежить від х, отже
. (10)
Після підстановки умов (7), (8), (9), (10) в систему рівнянь (5), рівняння рівноваги остаточно перепишуть у вигляді одного рівняння:
. (11)
. допущення
Приймемо, що дотичні напруження в умові пластичності змінюються 0 <<0,7 K, де - постійна пластичності (для плоскої деформації), тоді в умові пластичності (12)
Після підстановки умови (12) в (6), умова пластичності прийме наступний вигляд:
,
.
Умова пластичності в диференціальної формі:
(13)
3. Характер розподілу нормальних напружень на контактній поверхні заготовки або в зоні осередку деформації
Відповідно до допущеннями зазначеними у пункті 2 при застосуванні методу спільного вирішення спрощених рівнянь пластичності і рівноваги, шукаємо розподіл нормальних напружень тільки на контактній поверхні. На цій поверхні напруги не залежать від координати z, так як ця координата тут постійна і дорівнює 0,5 h. Отже, для контактної поверхні справедливі рівняння рівноваги (11) і пластичності (13). p align="justify"> Прийнявши умова пластичності (13) для точок контактної поверхні у формі:
, отримаємо:
(14)
Задамося законом тертя на контактній поверхні: дотичні напруження? До пропорційні нормальним? Z:
(15)
Підставляючи (15) в (14), отримаємо:
В В
(16)
При відсутності тертя на всій контактної поверхні напругу? Z залишалося б постійним і рівним за абсолютною величиною? S *. У даному випадку можна припустити, що в крайніх точках контактної поверхні при х = 0,5 а початкове значення напруг? Z також одно? S * і з цього значення? Z за абсолютною величиною збільшується в міру зменшення координати х. Отже вважаючи, що при х = 0,5 а? Z = -? S * підставимо в (16) і пер...
