stify"> Найпростіше це завдання вирішується за n = 6. Відомо, що сторона правильного вписаного шестикутника дорівнює радіусу даної кола. Тому потрібна В«програмаВ» виглядає так (додаток 1):
Циркулем побудувати з точки А0окружность G1 з радіусом ОА0.
Відзначити точку А1пересеченія кіл G і G1.
Ми бачимо, що ця програма призводить до двох різних відповідям, але відповідні шестикутники А0А1 А2 A3 A4 A5 і A0A1 A2 A3 A4 A5 відрізняються лише порядком нумерації вершин. Така ж ситуація спостерігається у випадках n = 3 і n = 4. Більш цікаві випадки n = 5 і n = 10. Я розберу тут випадок n = 10.
Якщо провести бісектрису А1В кута ОА1А0, то утворилися трикутники ОА1В, ВА1А0, будуть рівнобокими, а трикутники ОА1А0 і ВА1А0 - подібними. Будемо вважати пряму ОА0 числовою віссю, на якій точці О відповідає нулю, а точка А0 - одиниці. p align="justify"> Вирішивши це рівняння, ми знайдемо точку В. Шукана точка А1 знайдеться як точка перетину даної окружності G з колом з центром в точці А0 і радіусом довжиною х. Таких точок 2 - і виходить два рішення: точки А1 і А1 .
Другий корінь негативний і з цієї причини начебто не годиться. Однак не будемо поспішати В«відкидатиВ» цей корінь, а спробуємо зрозуміти його геометричний зміст. p align="justify"> Відновимо попередній малюнок (додаток 3), вважаючи, що точка В знаходиться не праворуч, а ліворуч від точки О. Ми отримаємо інший малюнок (додаток 3). Це дасть для шуканої точки А1еще два можливих положення: А1 і А1 .
Отже, ми прийшли до чотирьох різних можливостей для точки А1. У результаті виходить два різних десятіугольніка: опуклий і зірчастий (додатки 2,3). p align="justify"> Зауважимо, що з В«точки зоруВ» циркуля і лінійки зірчастий десятіугольнік нічим не гірше опуклого.
Можливо заперечення: у опуклого багатокутника несуміжні сторони не перетинаються, а у зірчастого перетинаються. Але це заперечення відпадає, якщо ми стороною будемо називати не відрізок між двома вершинами (поняття В«міжВ» у нас немає!), А всю пряму. Тоді правильний креслення В«опуклогоВ» десятіугольніка буде мати вигляд, лише розміром відрізняється від В«зірчастогоВ» (додаток 4). p align="justify"> Аналогічна ситуація виникає у разі п'ятикутників. Тут теж є 4 рішення, що призводять до двох різних п'ятикутника (додаток 5, а, б) з двома різними нумерації вершин на кожному. p align="justify"> Тепер, не вирішуючи явно завдання на побудов...
