и довільного правільногоугольніка, спробуємо встановити, скільки у неї різних рішень. Позначимо через х довжину дуги А0А1. Точка А1 є рішенням задачі (з точки зору циркуля), якщо, відкладаючи дугу довжини х від точки А0 послідовно n раз, ми повернемося у вихідну точку А0, а відкладаючи менше число разів - не повернемося. p align="justify"> Остання застереження істотна, інакше у випадку, наприклад, n = 6 нам довелося б назвати В«правильним вписаним шестикутникомВ» двічі пройдений трикутник, або тричі пройдений діаметр, або навіть шість разів повторене точку А0.
Мовою арифметики, приймаючи довжину всієї окружності за одиницю, наша умова можна сформулювати так: число nx - ціле, а числа х, 2х, 3х, ..., (n-1) х - не цілі. Це відповідає тим чотирьом рішенням, які ми раніше знайшли геометричним способом. Зауважимо, що якщо взяти в якості х число (або , , ...), то нових геометричних рішень ми не отримаємо: положення точки на колі залежить не від самого числа х = , а від залишку, який дає k при діленні на n.Ясно, що нескоротні дроби (m потрапляє в ціле число (у початкову точку кола) лише за k = n . Таким чином, кожне число, менше n і взаємно просте з ним дає рішення задачі про правільномn-косинці, і ми отримуємо, що число цього завдання дається функцією Ейлера. Зокрема ф (3) = ф (4) = ф (6) = 2; ф (5) = ф (10) = 4 що узгоджується з результатами, отриманими вище геометричним шляхом. Всяка дозволяє завдання на побудову за допомогою циркуля і лінійки повинна мати 2l різних рішень, ми отримаємо зручне необхідна умова для розв'язання задачі побудови правильного n-кутника.
Правильний n-кутник допускає побудову циркулем і лінійкою тільки тоді, коли ф (n) = 2l для деякого цілого l.
(Наприклад, правильний семіугольнік побудувати неможливо, так як число ф (n) = 6 не є ступенем двійки.)
Необхідність цієї умови я постаралася пояснити. Те, що воно є так само достатнім, - окремий результат. br/>
Числа Ферма
Отриманий результат не вичерпує повністю поставлене завдання. Залишається нез'ясованим питання - а чи багато таких чисел n, для яких ф (n) = 2l, тобто чи багато взагалі В«червонихВ» чисел?
Зрозуміло, про кожне окреме число ми можемо досить швидко сказати, червоне воно чи чорне - достатньо обчислити ф (n). Але це не дасть наочного опису всієї сукупності червоних чисел. Виявляється, пошук такого опису призводить до важкої і досі не вирішеною проблеми з теорії чисел. p align="justify"> Розкладемо n на прості множники: = p1m1 p2m2 ... pkmk,
