одіють такими властивостями:
1) Оцінки є незміщеними, тобто математичне сподівання оцінки кожного параметра одно його істинного значення: М (а) = a; М (b) = b. Це випливає з того, що М (єi) = 0, і говорить про відсутність систематичної помилки в визначенні положення лінії регресії.
2) Оцінки заможні, так як дисперсія оцінок параметрів при зростанні числа спостережень прагне до нуля:;. Інакше кажучи, якщо п досить велике, то практично напевно а близько до a, а b близько до b: надійність оцінки при збільшенні вибірки зростає.
3) Оцінки ефективні, вони мають найменшу дисперсію в порівнянні з будь-якими іншими оцінками даного параметра, лінійними щодо величин уi. В англомовній літературі такі оцінки називаються BLUE (Best Linear Unbiased Estimators - найкращі лінійні незсунені оцінки).
Перераховані властивості не залежать від конкретного виду розподілу величин єi, тим не менш, зазвичай передбачається, що вони розподілені нормально N (0; y2). Ця передумова необхідна для перевірки статистичної значущості зроблених оцінок і визначення для них довірчих інтервалів. При її виконанні оцінки МНК мають найменшу дисперсію не тільки серед лінійних, але серед всіх незміщене оцінок.
Якщо припущення 3) і 4) порушені, тобто дисперсія збурень непостійна і/або значення є. пов'язані один з одним, то властивості незсуненості і спроможності зберігаються, але властивість ефективності - ні.
Розглянемо тепер процедуру оцінювання параметрів парної лінійної регресії а і b. Для того, щоб функція Q = Sei2 = S (yi-(a + bxi)) 2 досягала мінімуму, необхідно рівність нулю її приватних похідних:
(3) (4)
В
Якщо рівняння (3) розділити на п, то отримаємо у = а + b х (тут - середні значення х і у). Таким чином, лінія регресії проходить через точку з середніми значеннями х та у. Підставивши величину а з (3) в (4), отримуємо
В
Звідки
(5) (6)
Інакше можна записати, що (де r коефіцієнт кореляції х і у). Таким чином, коефіцієнт регресії пропорційний показником коваріації і коефіцієнту кореляції х і у, а коефіцієнти цієї пропорційності служать для порівняння перерахованих різнорозмірних величин. Оцінки a і b, очевидно, є лінійними щодо yi (якщо xi вважати коефіцієнтами) - вище про це згадувалося. p> Отже, якщо коефіцієнт r уже розрахований, то легко розрахувати коефіцієнт парної регресії, не вирішуючи системи рівнянь. Ясно також, що якщо розраховані лінійні регресії х (у) і у (х), то добуток коефіцієнтів dx і by, одно r2:
(7) [1]
В
Зважений метод найменших квадратів
Далеко не всі завдання дослідження взаємозв'язків економічних змінних описуються звичайної лінійної регресійної моделлю. По-перше, вихідні дані можуть не відповідати тим чи іншим передумовам лінійної регресійній моделі і вимагати або додаткової обробки, або іншого модельного інструментарію. По-друге, дослі...
