оняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним виразом. Нові кроки у розвитку природознавства і математики в XIX в. викликали і подальше узагальнення поняття функції. p> Великий внесок у вирішення спору Ейлера, Даламбера, Д. Бернуллі та інших вчених XVIII в. з приводу того, що слід розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є (1768-1830), який займався основному математичної фізикою. У поданих ним в Паризьку Академію наук в 1807 і 1811 рр.., роботах з теорії поширення тепла в твердому тілі Фур'є навів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними виразами. p> З праць Фур'є випливало, що будь-яка крива незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складена, може бути представлена ​​у вигляді єдиного аналітичного вираження і що є також переривані криві, зображувані аналітичним виразом. У своєму "Курсі алгебраїчного аналізу", опублікованому в 1821 р., французький математик О.Коші обгрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на відомому етапі розвитку фізики і математики стало ясно, що доводиться користуватися і такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідну математикою і природознавством розширення поняття функції. p> У 1834 в роботі "Про ісчезанія тригонометричних рядків" Н. І. Лобачевський, розвиваючи вищезазначене ейлеровское визначення функції в 1755 р., писав: "Загальне поняття вимагає, щоб функцією від х називати число, яке дається для кожного х і разом з х поступово змінюється. Значення функції може бути дано або аналітичним виразом, або умовою, яка подає засіб відчувати всі числа і вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати і залишатися невідомою ... Великий погляд теорії допускає існування Залежно тільки в тому сенсі, щоб числа, одні з іншими в зв'язку, приймати як би даними разом ". p> Ще до Лобачевського аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена чеським математиком Б. Больцано. У 1837 р. німецький математик П. Лежен-Діріхле так сформулював загальне визначення поняття функції: "у є функція змінної х (на відрізку a ВЈ х ВЈ b), якщо кожному значенню х (на цьому відрізку) відповідає абсолютно певне значення у, причому байдуже, яким чином встановлено це відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами ". p> Таким чином, приблизно в середині XIX в. після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від уз аналітичного виразу, від єдиновладдя математичної формули. Головний наголос в новому загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності. p> Під другій половині XIX в. після створення теорії множин в поняття функції, крім ідеї відповідності, було включено й ідея множини. Таким чином, у повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється так: якщо кожному елементу х множини А поставлене відповідність певний певний ел...
