тікає гравця при використанні стратегії паралельного переслідування.
Зверніть увагу, що відрізки з'єднують точки, у яких відбулася зміна напрямку руху, паралельні один одному. Цей факт і дав назву стратегії. br/>В
Чому саме так. Розглянемо небудь ділянку руху на якому обидва учасника погоні рухаються по прямих. Їх поведінка оптимально, це означає, що вони рухаються до точки зустрічі розташованої на відповідній окружності Аполону (позначимо її А1) і це означає (див. вище), що будь-які два відрізки з'єднують положення тікає і наздоганяючого паралельні.
Нехай тепер тікає гравець змінив напрямок. Інакше кажучи він перейшов до іншої окружності Аполону (позначимо її А2). Нехай А точка в якій змінив напрямок убегающий гравець і В точка в якої змінив напрямок наздоганяє гравець. Тоді відрізок АВ кінець шляху по траєкторії на А1 і початок шляху по траєкторії А2. Отже будь-який відрізок на траєкторії А1 паралельний АВ і в той же час будь-який відрізок на траєкторії А2 також паралельний АВ. Таким чином, паралельність відрізків з'єднують відповідні точки на траєкторії тікає і наздоганяючого гравців зберігаються і при зміні напрямку руху.
Один кролик і кілька лисиць
Згадаймо завдання з якої почалася робота. Один кролик намагається втекти від групи лисиць. Відомо, що кролик бігає швидше лисиць. Ситуація в якій всі лисиці знаходяться в одній півплощині від кролика можна вважати нецікавою. Його швидкість вище і він неодмінно втече. Якийсь шанс у лисиць з'являється, якщо їм будь-яким чином вдасться кролика оточити. Ось так:
В
Звичайно, сам по собі факт оточення кролика успіху лисицям не гарантує. Цілком очевидно, що потрібно ще щось. Потрібно мабуть якесь спеціальне відношення відстаней, ставлення швидкостей. Загалом, між різними факторами утворюють ситуацію, необхідна якась закономірність.
Основою, відомого нам, математичного апарату є окружність Аполону, але як ми пам'ятаємо з попередньої лекції вона будувалася з тих міркування, що переслідувач швидше тікає, в Інакше безліч точок зустрічі просто пусте. Тому на перший погляд використовувати окружність Аполону не вийде.
Проведемо невелике формальне перетворення. Нехай кролик буде переслідувачем, а лисиця втікаючим, а щоб цю нову задачу звести до попередньої додамо в умову, що всі напрямки руху від кролика для лисиці заборонені і рухатися вона може тільки до кролика, а кролику дозволено рух тільки по прямій з вихідної точки. З точки зору здорового глузду така постановка абсурдна, але як математики, ми маємо право так вчинити. Нова задача буде виглядати так: Кілька лисиць оточили кролика який намагається спіймати хоча б одну. Лисиці не заперечують і ведуть себе так, щоб максимально полегшити завдання кролика. Питання, за яких умов на будь-якому напрямку руху кролика по прямій, лисиці зможуть здійснити зустріч кролика хоча б з однією лисицею.
У такій постановці відповідь майже очевидний. Кролик гарантовано зустрінеться з хоча б однієї лисицею, якщо будь-яка пряма по якій він рухається перетне хоча одну коло Аполонія. Тобто має місце наступна ситуація:
Малюнок зроблений з урахуванням того, що швидкості лисиць можуть бути різні, різниця у швидкостях лисиць визначає відмінність в радіусах. Сукупність кіл Аполону обмежують замкнуту внутрішню область в якій розташовується кролик.
Щоб склалася така ситуація необхідно якесь співвідношення між швидкостями лисиць, кролика і відстанями між ними. А для того, щоб отримати можливість що-небудь вважати нам потрібен радіус окружності Аполону.
Радіус кола Аполону:
Для того щоб отримати радіус побудуємо формулу описує окружність.
В
Позначення:
P - Переслідувач
E - Тікає гравець
O - Центр кола Аполону
M - Точка зустрічі
Виберемо систему координат таким чином, щоб її початок був у центрі кола Аполону і E = (0,0); P = (0, - b)
Очевидно, що | EM |/V e = | PM |/V p
В
Або, що теж саме | EM | * V p = | PM | * V e
В
Тоді | EM | = Г–x 2 + y 2 і | PM | = Г– x 2 + (y + b) 2
Підставимо в попередню формулу і отримаємо
В
V p Г–x 2 + y 2 = V e Г– x 2 + (y + b) 2
Зведемо в квадрат обидві частини рівняння, згрупуємо і отримаємо наступне рівняння
x 2 + (y - (bV e 2 )/(V p 2 - V e <...
