1 + а 0 р 0 , (2.1)
де a i = 0 Г· (p-1) - база нової системи числення.
Це вираз можна записати у вигляді:
А = А 1 р + а 0 , br/>
де А 1 = (а n р n -1 + а n -1 р n -2 + ... а 2 р 1 + а 1 ) - Ціла частина приватного,
а 0 - залишок від ділення А/р, який є цифрою молодшого розряду шуканого числа.
При розподілі числа А 1 на р. отримаємо залишок а 1 і т.д. Іншими словами, якщо записати вираз (2.1) за схемою Горнера:
,
після чого праву частину послідовно розділити на основу нової системи числення р, то отримаємо коефіцієнти:
В В
...
В В
При цьому поділ продовжується до тих пір, поки не виявиться, що
Правило перекладу цілих чисел з однієї позиційної системи числення в іншу формулюється чином:
Щоб перевести ціле число з однієї позиційної системи числення в іншу необхідно вихідне число послідовно ділити на основу нової системи числення, записане в вихідної системі числення, до отримання приватного, рівного нулю. Число у новій системі числення записується із залишків від ділення, починаючи з останнього.
Розглянемо як прикладу переклад цілого числа 138 у двійкову, вісімкову, шістнадцяткову системи числення.
138, 69, 34, 17, 8, 4, 2, 1, 0 - приватне
0 1 0 1 0 0 0 1 - залишок
138, 17, 2, 0 - приватне
2 2 січня
138, 8, 0
10 8
[138] 10 = [10001010] 2 = [212] 8 = [8А] 16
При перекладі з двійковій системи числення в десяткову вихідне число необхідно ділити на основу нової системи, тобто на 1010 2 .
Ділення виконати в двійковій системі важко, тому на практиці зручніше користуватися загальною записом числа у вигляді полінома. При перекладі двійкових чисел у десяткову систему числення зазвичай підраховують суму ступенів підстави 2, при яких коефіцієнти а и рівні 1. Розрахунки при це ведуться в десяткового системі.
2.2 Переклад правильних дробів
Нехай правильну дріб А, задану у довільній позиційній системі числення з основою L необхідно перевести в нову систему з основою Р, тобто перетворити її до вигляду:
А = а -1 р -1 + ... + А - k р - k , (2.2)
якщо, аналогічно перекладу цілих чисел розділити обидві частини виразу на р -1 , т.е помножити на р., то отримаємо:
Ар = а -1 + А 1 ,
де А 1 = а -2 р -1 + А -3 р -2 + ... + а - k р - k +1 - дрібна частина твору,
а -1 - ціла частина результату.
Отримана при цьому цифра цілої частини результату і буде першою цифрою шуканого числа. Помноживши тепер дробову частину результату на основу нової системи числення, отримаємо:
А 1 р = а -2 + А 2 ,
де А 2 - дробова частина твору,
а -2 - наступна цифра шуканого числа.
Отже, при перекладі вираз (2.2) представляється за схемою Горнера:
А = р -1 (а -1 + Р -1 (а -2 + ... + р -1 (а -к +1 + р -1 а -к ) ...)).
Для перекладу правильної дробу з однієї позиційної системи числення в іншу її треба послідовно множити на основу нової системи числення до тих пір, поки в новій дробу НЕ буде потрібної кількості цифр, яке визначається необхідною точністю подання дробу. Правильний дріб в новій системі числення записується з цілих частин творів виходять при послідовному множенні, причому перша ціла частина буде старшої цифрою нової дробу.
Розглянемо як прикладу переклад правильного дробу 0,536 в двійкову, вісімкову, шестнадцатиричную системи числення
[0,536] 10 = [0,10001001] 2 = [0,422335] 8 = [0,8937] 16
0,
536
2
0,
536
8
0,
536
16
1,
072
2
4,
288
8
