члена F (X, Y). Крива називається неособо, або гладкою, якщо всі її точки - неособо.
Еліптичної кривої E над полем F називається гладка крива, що задається рівнянням виду
Y 2 + a 1 XY + a 3 Y = X < i align = "justify"> 3 + a 2 X 2 + a 4 X + a 6, a i ГЋ F. (1)
Будемо позначати E (F) безліч точок (x, y) ГЋ F 2 , що задовольняють цьому рівнянню і містить крім того нескінченно віддалену точку, що позначається.
Дві криві E і E < span align = "justify"> над полем F називаються ізоморфними, якщо вони переходять один в одного при допустимій заміні координат
X: = u 2 x + r , Y: = u 3 Y + u 2 sX + t .
Залежно від характеристики поля F загальне рівняння еліптичної кривої може бути спрощене. Далі розглянуті стандартні форми запису еліптичних кривих для полів характеристики 2, 3 та для полів великих характеристик.
Поля великих характеристик. Якщо поле F не є полем характеристики 2 або 3, то замінивши координати
(x, y) В® ( , ) ,
можна навести криву до виду
Y 2 = X 3 + aX + b, a, b ГЋ F, char F? 2, 3 (2)
C рівнянням (2) еліптичної кривої E можна пов'язати дискримінант
D (E) =? 16 (4a3 +27 b2). (3)
Поняття дискриминанта в загальному випадку кривої (1) виглядає більш громіздко. А саме,
D ...
