х квадратів (МНК) використовувався для визначення функції мети. br/>В В
Зауважимо, що обмеження повністю залежать від способу апроксимації ОДУ і, в багатьох випадках, функції будуть залежати тільки від деяких значень. Наприклад, при використанні явного методу Ейлера, приймуть наступний вигляд:
В
У виразі (2.10) крім змінних і, явно включених в праву частину рівності, також неявно входять всі В«запізніліВ» невідомі функції, що необхідно враховувати при складанні якобіана і гессіан обмежень.
Введемо заміну змінних (внесемо в вектор невідомих):
В
Тоді обмеження можуть бути представлені як:
В
Запишемо лагранжіан, пов'язаний із завданням (2.8) - (2.9):
,
В
гессіан лагранжіана має вигляд:
,
,
,
- нульова квадратна матриця розмірності.
Покладемо, що якобиан обмежень дорівнює, тобто що
В
Зазначимо, далі, що обмеження входять тільки у вирази якобіана (2.18) і гессіан обмежень (2.17), а, отже, тільки ці матриці залежать від схеми чисельного інтегрування ОДУ.
Обчислимо їх для деяких чисельних методів.
Метод Ейлера
Нагадаємо, що рішення у вузлах в методі Ейлера визначається наступним співвідношенням:
В
Тоді обмеження для задачі (2.8) - (2.9) будуть рівні
В
Якобіан (2.20) прийме вигляд:
,
де для:
В В В В
Для того щоб зрозуміти звідки з'явилися елементи запишемо обмеження:
В
і зауважимо, що у функцію входить.
гессіан в методі Ейлера прийме наступний вигляд:
В
де для:
В В В В
Неявний метод Ейлера
Неявний метод Ейлера характеризується наступною формулою:
В
Тоді обмеження задачі (2.8) - (2.9) матимуть вигляд:
В
Якобіан (2.33) буде мати таку ж структуру що і якобиан (2.20), але елементи матриці візьмуть інші значення, а саме:
В В В В
Значення гессіан будуть наступними:
В В В В
1. Опис алгоритму
Пошук рішення
Задача (2.8) - (2.9) - типова задача нелінійної оптимізації. Проте, загальні методи вирішення оптимізаційних завдань з обмеженнями не можуть працювати досить ефективно з такого роду проблемою, тому що вони не враховують спеціальну структуру функцій. Також, бажано використовувати метод, який здатний врахувати і властивості цільової функції МНК (2.8), а, саме, спеціальний вид її матриці Гессе. p> Важливо зауважити, що завдання (2.8) - (2.9) зазвичай має досить велику розмірність, але тільки з декількома ступенями свободи, що визначаються ОДУ з запізнілими аргументами (2.1), ніж розмірами вхідних даних. Для того щоб зробити процедуру виключення змінних ефективною, замість використання винятк...
