у по Гауса в справжній роботі було розглянуто метод, заснований на редукції змінних. p> Також були розглянуті інші методи вирішення системи, одержуваної на кожному кроці SQP алгоритму, такі як:
1. Метод, заснований на блокової факторизації
. Прямі та ітераційні методи
Нижче (див. Малюнок 1) представлено дерево пошуку рішення - червоними кольором відмічені відкинуті з тих чи інших причин варіанти рішення, зеленим - методи і способи рішення, які були прийняті і застосовані.
В
Малюнок 1. Дерево пошук рішення
Грунтуючись на результатах роботи [1] для розв'язання задачі (2.8) - (2.9) буде використано послідовне квадратичне програмування (SQP), на кожному кроці якого функції мети і обмежень замінюються на їх квадратичні наближення, і вирішується наступна підзадача: знайти напрям , таке, що є рішенням для квадратичної задачі:
В В
В якості матриці (гессіан лагранжіана) може бути використаний як повний гессіан:
В
так і неповний:
,
, а.
Неповний гессіан (3.4) використовується для відшкодування відсутності позитивної визначеності і для зменшення складності обчислення (3.3). Також використання неповного гессіан призводить до спрощення програмного коду і прискоренню його розробки, при цьому, як буде показано нижче, швидкість збіжності алгоритму до вирішення буде вище при виконанні деяких умов. p> Послідовне квадратичне програмування
На кожному кроці роботи SQP алгоритму вирішується система рівнянь
,
де - гессіан лагранжіана, розрахований в точці при множниках Лагранжа (), - якобиан обмежень в точці, - множники Лагранжа на-му кроці алгоритму.
На жаль, матриця коефіцієнтів системи рівнянь (3.5) не є позитивно визначеною (хоча блок буде позитивно визначений у разі використання неповного гессіан (3.4), блоки і не гарантують наявності даного властивості у всій матриці), що в свою чергу не дозволяє використовувати метод Холецкого (метод квадратного кореня).
Для ОДУ без запізнілих аргументів структура матриці (3.5) буде мати наступний вигляд (див. Малюнок 2):
В
Малюнок 2. Структура матриці підзадачі SQP для ОДУ без запізнілих аргументів (n = 200)
Для ОДУ з запізнілих аргументом на блоках матриці (3.5) з'являться додаткові по діагоналі, що відповідають запізнювання (формули розрахунку елементів матриць наведені нижче в розділах В«Метод ЕйлераВ» і В«Неявний метод ЕйлераВ») і структура матриці прийме наступний вигляд (див. Малюнок 3):
В
Малюнок 3. Структура матриці підзадачі SQP для ОДУ з запізнілими аргументами (n = 200, три запізнювання)
Основними властивостями матриці системи (3.5) є:
1. Відсутність позитивної визначеності ...
