pan> 2 z.
Але перестановка змінних x і z змінює вигляд цього многочлена - він переходить у многочлен
z2x + y2xx2z + y2z.
Найбільш простими є симметрические многочлени
x + y + z, xy + xz + yz, xyz.
Їх називають елементарними симетричними многочленами від трьох змінних x, y, z і позначають через,,:
В
Зауважимо, що - многочлен першого ступеня, - другого ступеня і - третьою.
Основна теорема про симетричні многочленів від трьох змінних.
Візьмемо будь многочлен від змінних,, і замінимо в ньому на x + y + z, - на xy + xz + yz і - на xyz. У результаті ми отримаємо многочлен, симетрично залежний від x, y, z. Наприклад, з многочлена
В
ми отримаємо таким шляхом многочлен
? (x, y, z) = (x + y + z) 3-3 (x + y + z) (xy + xz + yz)-xyz.
Розкриваючи дужки і приводячи подібні члени, отримуємо симметрический многочлен
? (x, y, z) = x3 + y3 + z3-4xyz.
Будь симметрический многочлен від x, y, z можна представити у вигляді многочлена від,,.
План докази такий. Спочатку ми покажемо, що будь-яка статечна сума sk може бути виражене через елементарні симетричні многочлени,,. Потім ми розглянемо більш складні симметрические многочлени, кожен з яких виходить з деякого Одночлен всілякими перестановками змінних і підсумовуванням одержані результатів. Такі симметрические многочлени будемо називати орбітами відповідних одночленів. Ми покажемо, що кожна орбіта виражається через статечні суми, а значить, в кінцевому підсумку, через,, нарешті, буде встановлено, що всякий симметрический многочлен представляється у вигляді суми орбіт. br/>
Вираз статечних сум через,,.
Отже, насамперед ми покажемо, що кожну ступеневу суму Sk = xk + yk + zk можна представити у вигляді многочлена від,,.
sk = (1)
Цю формулу ми не будемо В«виводитиВ», а прямо перевіримо. Підставляючи в праву частину співвідношення (1) замість величин:
,,,
sk-1 = xk-1 + yk-1 + zk-1, sk-2 = xk-2 + yk-2 + zk-2, sk-3 = xk-3 + yk-3 + zk-3 ,
(x + y + z) (xk-1 + yk-1 + zk-1) - (xy + xz + yz) (xk-2 + yk-2 + zk-2) +
+ xyz (xk-3 + yk-3 + zk-3) = (xk + yk + zk + xyk-1 + xk-1y + xzk-1 + xk-1z + yzk-1 + yk-1z) -
Таким чином, правильність формули (1) перевірена.
З цієї формули і випливає справедливість нашого твердження. Легко бачити, що статечні суми s0, s1, s2 виражаються через,,:
s0 = x0 + y0 + z0 = 1 +1 +1 = 3; 1 = x + y + z =; 2 = x2 + y2 + z2 = (x + y + z) 2-2 (xy + xz + yz) =.
Після цього формула (1) дозволяє послідовно знаходити вираження наступних статечних сум через,,: спочатку s3, потім s4, s5 і так далі Іншими словами, маючи вираз статечних сум s0, s1, s2 через,,, ми з допомогою методу...
