математичної індукції (на основі формули (1)) укладаємо, що будь-яка статечна сума sk виражається через,,. Таким чином, наше твердження доведено. p> Формула (3) не тільки доводить можливість висловити статечні суми через,,, але і дозволяє фактично знаходити ці вирази.
Іншими словами, проведене вище доказ конструктивно, тобто воно вказує цілком певну послідовність дій, що дозволяє за кінцеве число кроків дістатися до вираження довільної степеневої суми sk через,,. У таблиці 1 зведено вираження статечних сум (до s10) через,,
Таблиця 1
Вирази статечних сум sn = xn + yn + zn через,,
s 0 3s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10
Орбіти одночленів
Існують одночлени, не змінні при перестановках змінних, тобто симметрические. Легко бачити, що в такій Одночлен всі змінні повинні входити в одній і тій же мірі, тобто цей Одночлен повинен збігатися з твором x k y k z k .
Якщо ж серед показників Одночлен x k y l z m є різні, то цей Одночлен вже не буде симметрическим. Щоб отримати симметрический многочлен, один з доданків якого є Одночлен x k y l z m , треба додати до нього інші одночлени. Многочлен з найменшим числом членів, одним з доданків якого є Одночлен x k y l z m , назвемо орбітою цього Одночлен і позначимо через 0 ( x k y l z m ).
