ногочленів рішення цих завдань помітно спрощується і, що найголовніше, проводиться стандартним прийомом. br/>
симетричних многочлен ВІД ТРЬОХ ЗМІННИХ
Визначення та приклади
У многочлене від трьох змінних x, y, z перестановок можна зробити три: можна поміняти місцями x і y, або x і z, або, нарешті, y і z. Назвемо многочлен ? ( x, y, z) від трьох змінних x, y, z симметрическим, якщо при будь-який з цих трьох перестановок він залишається незмінним .
Умова симетричності многочлена ? ( x, y, z) записується таким чином:
? ( x, y, z ) =? ( y, x, z ) =? ( z, y, x ) =? ( x, z, y).
Наприклад, з коммутативности складання випливає, що симетричною є многочлен x + y + z, а з коммутативности множення слід симетричність многочлена xyz.
симетричними і статечні суми, тобто многочлени
s k = x k < span align = "justify"> + y k + z k .
Ось ще приклади симетричних многочленів від трьох змінних:
xy + yz + xz, x 3 + y 3 + z 3 -3xyz,
(x + y) (x + z) (y + z), x (y 4 + z 4 ) + y (x 4 + z 4 ) + z (x 4 + y 4 ).
Навпаки, многочлен
x 2 z + y 2 z
не є симетричним. Правда, при перестановці змінних x і y він не змінюється:
x 2 z + y 2 z = y 2 z + x
