з.
Визначення 1.22. Ряд називається нормальним, якщо для всіх i. p> Визначення 1.23. Ряд називається субнормальний, якщо для всіх i. p> Визначення 1.24. Нехай - субнормальний ряд кінцевої групи G. Фактор-групи називаються факторами ряду. p> Визначення 1.25. Числа - індекси ряду.
Визначення 1.26. Нормальний ряд кінцевої групи G називається головним, якщо підгрупа є максимальною нормальною підгрупою групи G, що міститься в. p> Визначення 1.27. Нехай тепер і - довільні групи. На безлічі визначимо операцію (множення) наступним чином: де. Безліч перетворюється на групу з одиничним елементом, де - одиничний елемент групи, і зворотним елементом
Групу називають прямим твором груп.
Визначення 1.28. Мінімальною нормальною підгрупою групи G називають таку нормальну підгрупу N групи G, що і в N немає нетривіальних нормальних підгруп групи G.
Лемма 1.4 . [1, лема 13.1]. Нехай Тоді:
(1) якщо то або, або
і
(2) якщо N абелева і NH = G для деякої власної підгрупи H групи G, то;
(3) якщо і, то
Визначення 1.29. Комутатором елементів a і b називають елемент, який позначають через. Ясно, що. p> Визначення 1.30. Підгрупа, породжена комутаторами всіх елементів групи G, називається коммутантам групи G і позначається через. Таким чином,. p> Визначення 1.31. Для будь непоодинокий групи G можна побудувати цілий ланцюжок коммутантов
В
Якщо існує номер n такий, що, то група G називається вирішуваною.
Лемма 1.5. [1, лема 21.2.].
(1) Підгрупи і фактор-групи розв'язної групи можна розв'язати;
(2) Якщо і можна розв'язати, то G розв'язна;
(3) Пряме твір розв'язаних груп є вирішуваною групою.
Глава 2. Кінцеві сверхразрешіма групи
сверхразрешіма група лема
Визначення 2.1. Група називається сверхразрешіма, якщо вона володіє нормальним поруч з циклічними факторами.
Лемма 2.1 [1, Лемма 26.1].
(1) Кожна підгрупа і кожна фактор-група сверхразрешіма групи сверхразрешіма.
(2) Пряме твір сверхразрешімих груп є сверхразрешіма групою.
(3) сверхразрешіма група залагодити.
Доказ:
(1) Нехай група G сверхразрешіма. Тоді група G має нормальним поруч з циклічними факторами:
В
і фактор-групи циклічні для всіх i. Нехай і Тоді підгрупа U має ряд
В
причому для віх i. Далі
В
і фактор-група циклі...
