ть множників Лагранжа, для яких виконані умови a)-c) с.
Ми сформулювали необхідна умова мінімуму. Необхідна умова максимуму формулюється аналогічно, за винятком того, що множник Лагранжа і відповідно в конусі допустимих варіацій
Достатня умова екстремуму II порядку
Сформулюємо достатня умова мінімуму II порядку в гладкій конечномерной завданню з обмеженнями типу рівностей і нерівностей.
Теорема. Нехай функції, двічі безперервно діфференцируєми в деякій околиці точки (умова гладкості), вектори - лінійно незалежні (умови регулярності), існує множник Лагранжа з такою, що для функції Лагранжа задачі (Р)
В
Виконуються умови екстремуму I порядку:
a) стаціонарності:
В
b) доповнює нежорсткої:
В
c) невід'ємності:
В
і
з деякою позитивною константою, де - конус допустимих варіацій, а - сукупність множник Лагранжа, для яких виконані умови a)-c) с.
Тоді - точка локального мінімуму в задачі (Р).
Достатня умова максимуму формулюється аналогічно, за винятком того, що множник Лагранжа, відповідно в конусі допустимих варіацій і
.
Правило рішення.
Для вирішення гладкою конечномерной завдання з обмеженнями типу рівностей і нерівностей слід:
) Скласти функцію Лагранжа
) Виписати необхідна умова екстремуму I
a) стаціонарності:
В
b) доповнює нежорсткої:
В
c) неотрицательности:
В
3) Знайти точки, що задовольняють умовам a)-c) (ці точки називаються критичними). ​​
При цьому окремо розглянути випадки:
a);
b) (або будь-якої позитивної константі);
c) (або будь негативною константі);
У разі a) критичні точки можуть доставляти і мінімум, і максимум в задачі. У разі b) критичні точки можуть доставляти мінімум в задачі. У разі c) критичні точки можуть доставляти максимум в задачі. p> При знаходженні критичних точок в умовах доповнюють нежесткости для кожного треба розглядати два випадки: і.
) Дослідити на локальний і абсолютний екстремум знайдені точки або, якщо їх немає, знайти і вказати послідовності допустимих точок, на яких ці абсолютні екстремуми досягаються.
При цьому можна намагатися скористатися безпосередньою перевіркою або перейти до дослідження умов екстремуму II порядку в кожній критичній точці. Зазначимо, що перевірка виконання необхідних чи достатніх умов екстремуму в задачі типу рівностей і нерівностей - непросте завдання. Тому, як правило, ми будемо при дослідженні екстремуму використовувати безпосередню перевірку, порівнюючи значення досліджуваної функції в критичній точці з її значеннями в близьких допустимих точ...
