ках. br/>
Теорема Вейєрштрасса
Теорема (скінченновимірна теорема про зворотній функції). Нехай - безперервно диференціюється відображення деякої околиці точки відмінний від нуля . Тоді існує зворотне відображення деякій околиці V точки в околицю точки таке, що і
В
з деякою константою
Нехай - функція n змінних. При дослідженні питання про досягнення функцією n змінних екстремуму часто використовується наступна теорема.
Теорема Вейєрштрасса. Безперервна функція на Непорожнє обмеженому замкнутому підмножині D конечномерного простору (компакті) досягає своїх абсолютних максимуму і мінімуму. p align="justify"> Д про до а із а т е л ь с т в о проведемо від супротивного. Нехай функція f (x, y) при зміні (x, y) в D виявляється необмеженою. Тоді для будь-якого n знайдеться в D така точка , що
(1)
З обмеженою послідовності можна витягти часткова послідовність , сходящуюся до граничної точці
Зазначимо, що ця точка необхідно належить підмножина D. Дійсно, в іншому випадку точки всі були б від неї відмінні, і крапка була б точкою згущення підмножини D, їй не належить, що неможливо зважаючи замкнутості підмножини D .
У слідстві безперервності функції в точці повинно бути
В
а це знаходиться в суперечності з (1).
Слідство. Якщо функція f неперервна на і ( ), то вона досягає свого абсолютного мінімуму (максимуму) на будь-якому замкнутому підмножині з .
Нагадаємо, що множина A в метричному просторі називається компактом, якщо з будь-якої послідовності елементів A можна вибрати сходящуюся до елементу з A послідовність або (рівносильне визначення) якщо з усякого покриття A відкритими множинами можна вибрати кінцеве підпокриття. Обмежене і замкнутий безліч конечномерного простору є компактом. p align="justify"> Прімери.
Приклад 1. p> Рішення. Функція Лагранжа:
В
Необхідні умови локального мінімуму:
a) стаціонарності:
В
b) доповнює н...
