о для всіх точок. У цьому випадку ми пишемо. Такий мінімум називається ще абсолютним, або глобальним. Аналогічно визначається абсолютний максимум в задачі. Величина, де - рішення задачі, називається чисельним значенням завдання і позначається або. Безліч рішень задачі позначається. якщо екстремум не досягається, то вказується послідовність точок, на якій значення функції прагнути до величин і.
У зв'язку з кожної екстремальної завданням виникають питання: які необхідні умови екстремуму, які достатні умови, чи існує рішення задачі, як знайти рішення явно чи чисельно.
Одним з найважливіших принципів вирішення завдань з обмеженнями є принцип Лагранжа зняття обмежень. Сфера застосування принципу Лагранжа достатня широка. Іноді не можна до задачі застосувати наявну теорему, проте цей принцип, застосований безпідставно, проте може призвести до точок, серед яких можна виділити рішення. br/>
Постановка завдання
Нехай - функції, n змінних, що відображають простір Rn в R. Вважаємо, що всі функції володіють певною гладкістю. Гладкою конечномерной екстремальної завданням з обмеженнями тиру рівностей і нерівностей називається наступна задача в Rn:
(P)
У завданнях, де є обмеження типу нерівностей, важливо, розглянута задача на мінімум або на максимум. Для визначеності ми будемо розглядати завдання на мінімум. br/>
Необхідні і достатні умови екстремуму
Принцип Лагранжа
Сформулюємо необхідна умова екстремуму I порядку в гладкій конечномерной завданню з обмеженнями типу рівностей і нерівностей - принцип Лагранжа.
Теорема. Нехай - точка локального екстремуму в задачі (Р), а функції безперервно діфференцируєми в околиці точки (умова гладкості). Тоді існує ненульовий вектор множник Лагранжа, такий, що для функції Лагранжа задачі (Р) виконуються умови:
a) стаціонарності:
В
b) доповнює нежорсткої:
В
c) неортіцательності:
В
Точки, що задовольняють необхідним умовам локального екстремуму, називаються критичними. У задачі на максимум
Необхідна умова екстремуму II порядку.
Сформулюємо необхідна умова мінімуму II порядку в гладкій конечномерной завданню з обмеженнями типу рівностей і нерівностей.
Теорема. Нехай - точка локального мінімуму в задачі (Р), функції двічі безперервно діфференцируєми в деякій околиці точки (умова гладкості), вектори лінійно незалежні (умова регулярності). p> Тоді існує множник Лагранжа з такою, що для функції Лагранжа задачі (Р) виконуються умови екстремуму I порядку:
a) стаціонарності:
В
b) доповнює нежорсткої:
В
c) неотрицательности
В
і
де - конус допустимих варіацій, а Л - сукупніс...
