(1.2) заміну змінної підсумовування, отримаємо
, (1.3)
де
, (1.4)
,,.
На кожному з інтервалів розбиття побудуємо статистику, що задається рівністю
, (1.5)
де задається виразом (2.4), - вікна перегляду даних,,,.
Статистику будемо називати модифікованої периодограмм на му відрізку розбиття спостережень.
В якості оцінки взаємної спектральної щільності процесу досліджена статистика виду
(1.6)
де, - спектральне вікно, а, - оцінка взаємної спектральної щільності процесу, побудована за методом Уелча
(1.7)
Щодо вікон перегляду даних і спектральних вікон будемо припускати
Припущення 1.1 Нехай вікна перегляду даних обмежені одиницею і мають обмежену постійної варіацію.
Припущення 1.2 Нехай безперервна, періодична функція з періодом, має обмежену варіацію і є ядром.
2.2 Обчислення математичного сподівання, дисперсії і коваріації побудованої оцінки
Доведемо деякі допоміжні результати.
Лемма 1.1 . Для будь-якого цілого р справедливо наступне співвідношення
(1.8)
Доказ. Якщо, то доказ очевидно. Розглянемо випадок. Скористаємося формулою Ейлера
В
Тоді
В
Лема доведена.
Лемма 1.2. Якщо функції є вікнами перегляду даних і задовольняють припущенням 1.1, то
, (1.9)
, (1.10)
для будь-кого.
Доказ. Доведемо співвідношення (1.9). Використовуючи перетворення Абеля, можна записати
В
+ ,
в силу того, що. Використовуючи той факт, що для будь-якого натурального і будь-якого дійсного,
, (1.11)
Отримаємо наступний вираз
.
Тоді
.
Враховуючи обмеженість функцій одиницею, будемо мати
В
+
+ .
Отже,
.
Тоді, використовуючи обмеженість варіації постійної, отримаємо (1.9). Співвідношення (1.10) доводиться аналогічно. Лема доведена. p> Лемма 1.3. Якщо функція неперервна на і є періодичною з періодом по кожному з аргументів, то для будь-якого, справедливе співвідношення
=, (1.12)
де.
Доказ. Уявімо інтеграл у правій частині у вигляді суми трьох інтегралів
= -
+ =,
де,.
Покажемо, що. Зробимо в заміну змінних інтегрування. Враховуючи, що має період по кожному з аргументів, маємо
=
,
де - якобиан, рівний одиниці. Лема доведена. p> Теорема 1.1. Математичне сподівання оцінки взаємної спектральної щільності,,, задає...
