ться співвідношенням (1.6), має вигляд
, (1.13)
, (1.14)
, (1.15)
.
Доказ. Підставляючи замість її вираження в явному вигляді, використовуючи співвідношення (1.4), (1.5) і враховуючи властивості математичного сподівання, отримаємо
В
=
=
.
Враховуючи, що
, (1.16)
отримаємо необхідний результат. Теорема доведена. p> Теорема 1.2. Ковариация оцінки взаємної спектральної щільності,,, задається співвідношенням (1.6), має вигляд
В
=
В
+
+
+
+
(1.17)
де
=
, (1.18)
=, (1.19)
де задається виразом (1.15), - семіінваріантная спектральна щільність 4-го порядку, а
, (1.20)
.
Доказ. Використовуючи визначення коваріації, властивості математичного сподівання і співвідношення (1.7), отримаємо
В
=
В
=
В В В В В
=
В В В В В
.
Таким чином, останній вираз можна представити у вигляді суми трьох доданків і.
Розглянемо.
В В В В В
Враховуючи співвідношення, що зв'язує змішаний семіінваріант 4-го порядку і семіінваріантную спектральну щільність 4-го порядку, а також співвідношення (1.15), отримаємо
В В В
.
Зробимо заміну змінних інтегрування. Враховуючи (1.11), (1.18), (1.20), на підставі леми 1.3 отримаємо
В В
.
Розглянемо.
В В В В В
Враховуючи співвідношення (1.15), (1.16), запишемо
В В В
.
Використовуючи співвідношення (1.19), (1.20), отримаємо
В В
.
Розглянемо.
В В В В В
Враховуючи співвідношення (1.15), (1.16), отримаємо
В В
.
Теорема доведена.
Теорема 1.3. Дисперсія оцінки взаємної спектральної щільності,,, задається співвідношенням (1.6), має вигляд
В В
+
+
+
+
. (1.21)
де,,, задаються виразами (1.18), (1.20), (1.19), (1.15) відповідно,,, a - семіінваріантная спектральна щільність 4-го порядку.
Доказ випливає з теореми 1.2, поклавши,,.
3. Дослідження асимптотичної поведінки моментів побудованої оцінки
3.1 Дослідження асимптотичної поведінки математичного сподівання побудованої оцінки
Досліджуємо асимптотичну поведінку математичного очікування оцінки взаємної спектральної щільності,, заданою співвідношенням (1.6).
Теорема 2.1. Якщо взаємна спектральна щільність неперервна в точці і обмежена на, вікна перегляду даних задовольняють припущенням 1.1, а спектральні вікна припущенням 1.2, то для оцінки, заданої виразом (1.6), справедливе співвідношення
(2.1)
В
Доказ . <...
