ожин задовольняє наступним властивостям:
) коммутативности
) асоціативності
) існує нульовий елемент:
Слід зазначити, що якщо безліч складається більш ніж з однієї точки, то у такого безлічі немає зворотного елемента щодо введеної операції суми множин, тобто не існує така безліч що Якщо ж то
Визначення 2. Твором безлічі на число називається безліч
В
Твір на довільне число є елементом простору Крім того, якщо безліч опукле, то й безліч також опукле.
При множенні кулі радіуса з центром у a на число радіус кулі множиться на а центр - на те є
В
Таким чином, враховуючи формулу, маємо
В
Безпосередньо перевіряється, що для будь-яких чисел і будь-яких двох множин виконуються наступні характеристики:
)
)
)
Простір не є лінійним простором з введеними операціями алгебраїчної суми двох множин і множення множини не число хоча б тому, що не у кожного елемента є зворотний елемент Крім того, не завжди виконується необхідний для лінійності закон дистрибутивности, тобто не завжди виконується рівність :
В
Замість рівності у формулі справедливо лише одностороннє включення
В
Виявляється, що якщо і безліч опукло, то формула в цьому випадку справедлива.
Нехай і в просторі задано лінійне перетворення за допомогою матриці (з дійсними елементами) розміром. p> Визначення 3. Образом безлічі при лінійному перетворенні, що задається матрицею, називається безліч
В
Легко перевірити, що образ безлічі при лінійному перетворенні також є елементом простору Крім того, якщо безліч опукле, то й безліч також опукло.
.2 Опорна функція і її основні властивості
Визначення 4. Нехай задано деякий безліч Опорною функцією множини називається скалярна функція векторного аргументу визначається умовою
В
Безліч також вважається одним з аргументів функції. Зафіксуємо безліч. Функція як функція аргументу відображає простір в числову вісь Максимум в правій частині рівності досягається, так як скалярний твір безперервно по а безліч компактно. p> Нехай деякий фіксований вектор, а один з векторів множини, на якому досягається максимум у визначенні опорної функції для вектора, тобто виконується рівність
В
У цьому випадку вектор називається опорним вектором до безлічі в точці, а сукупність усіх векторів, що задовольняють рівності, називається опорним безліччю до безлічі в напрямку вектора. Гіперплощина в просторі обумовлена ​​співвідношенням
В
називається опорною гіперплощиною до безлічі в напрямку вектора
Для опорного безлічі справедливо уявлення
гіперплощинами розбиває весь простір на два півпростору і Безліч лежить в негативному півпросторі щодо вектора, так як для всіх точок виконується нерівність
Властивості опорних ...
