ління зазвичай записується у вигляді диференціального рівняння
, (2)
де - вектор управління.
Очевидно, що рівняння керованого руху (2) можна інтерпретувати як вибір вектора швидкості з безлічі
В
тобто розглядати диференціальне включення (3).
Наявність встановленої зв'язку між керованими системами і диференціальними включеннями дозволяло зводити завдання відшукання оптимального управління до завдань відшукання оптимального рішення відповідного диференціального включення.
У роботах Т. Важевського (T. Wazevski) і його учнів було проведено фундаментальне дослідження рішень диференціальних включень: питання взаємозв'язку між різними поняттями рішень диференціального включення, існування глобальних рішень, компактності і зв'язності перерізів інтегральної воронки диференціального включення.
Слід зауважити, що всі ці властивості були встановлені для диференціального включення з опуклою правою частиною. На початковому етапі вивчення диференціальних включень центральним питанням була взаємозв'язок визначень рішення, диференціального включення в сенсі А. Маршо і С.К. Заремби з природним визначенням рішення, а також питання існування і властивостей всіх рішень диференціального включення. p> Узагальнення отриманих результатів на випадок опуклих правих частин було проблематичним в силу наявності труднощів принципового характеру, насамперед пов'язаних з обгрунтуванням існування рішення.
Тільки наприкінці 70х років А.Ф. Філіппову вдалося довести теорему існування локальних рішень диференціальних включень з неопуклого правою частиною. p> Потім з'явилися роботи Качинського та Олех (C. Olech), Антосевіча і Челліні стосуються так само теорем існування диференціальних включень з неопуклого правою частиною.
2.Елементи багатозначного аналізу
.1 Операції над множинами
Нехай - мірне евклидово векторний простір з елементами Простір є лінійним простором із звичайними операціями додавання векторів, множення вектора на число і скалярним твором а також нормованим простором з нормою.
Розглянемо простір, що складається з усіх непорожніх компактних підмножин простору
Визначення 1. Алгебраїчною сумою або просто сумою двох множин і з простору називається безліч
В
Сума + двох множин і з простору є також Елементом простору Крім того, якщо множини, випуклі, то їх алгебраїчна сума + також буде опуклим множиною.
Якщо безліч складається з єдиної точки, тобто, то безліч виходить паралельним зрушенням безлічі на вектор.
Нехай кулю радіуса з центром в точці тобто
В
Тоді
В
тобто при складанні двох куль їх радіуси підсумовуються і вектори, що задає центри куль, також підсумовується. p> З цієї формули при ми отримуємо, що
В
Операція алгебраїчної суми для будь-яких мн...
