раціями над векторами називають додавання векторів і множення вектора на число.
Сумою + двох векторів і називається вектор, що йде з початку вектора в кінець вектора за умови, що початок вектора збігається з кінцем вектора. Записують:
= +.
В
Рис. 1.Ріс. 2. br/>
Це правило називається "правилом трикутника" (рис. 1). Для складання двох векторів можна використовувати "правило паралелограма" (рис. 2): якщо вектори і прикладені до загального початку і на них побудований паралелограм, то сумою і цих векторів є вектор, що збігається з діагоналлю паралелограма, що йде із загального початку векторів і.
Суму трьох, чотирьох і більшого числа векторів можна побудувати за "правилом багатокутника": початок кожного наступного вектора суміщають з кінцем попереднього, а сумою всіх векторів є вектор, що йде з початку першого вектора в кінець останнього.
В
Рис. 3
На рис. 3 побудована сума чотирьох векторів + + +. p> Три вектора в просторі можна складати за "правилом паралелепіпеда": якщо на трьох векторах,,, як на ребрах, побудувати паралелепіпед, то його діагональ, що виходить із загального початку даних векторів, і буде їх сумою (рис. 4) :
= + +.
В
Рис. 4
Твором Г— вектора на число називається вектор, колінеарний вектору, що має довжину, рівну | | Г— | |, однаково з вектором спрямований у разі> 0 і протилежно з ним спрямований у разі <0. Записують:
= Г—.
Коли = 0, для будь-якого вектора твір Г— одно нуль-вектору:
Г— =.
Коли = 1, 1 Г— =.
Коли = -1, (-1) Г— = - вектор, протилежний вектору.
Отже, при множенні вектора на число отримуємо вектор, колінеарний даному. Тому, якщо відомо, що = Г—, де - число, маємо два колінеарних вектора і. Інакше кажучи, рівність = Г— є умовою коллинеарности векторів і. p> Для прикладу розглянемо вектори, що збігаються зі сторонами трикутника АВС: =, =.
В
Рис.
Потрібен виразити через вектори і вектор, де О - точка перетину медіан трикутника.
Відомо, що точка О перетину медіан трикутника ділить відрізок медіани у відношенні 2:1, рахуючи від вершини. Тому = 2/3 Г—, де точка D - середина сторони СВ. p> Але вектор = 1/2 Г— = 1/2 Г—; = -1/2 Г—.
У трикутнику САD вектор = + = -1/2 Г— +.
Бажаємий вектор = -2/3 (-1/2 +) = 1/3 Г— -2/+3 Г—.
Отже, = 1/3 Г— -2/+3 Г—. Зауважимо, що різницю векторів і можна розглядати як суму вектора і вектора, протилежного вектору:
- = + (-1) Г— = + (-).
У нашому прикладі з трикутника САD можна отримати вектор = - = 1/2 Г— -.
Якщо вектор помножити на число 1/| |, отримаємо так званий одиничний вектор вектора (або орт вектора), який позначається 0. Отже, орт вектора або одиничний вектор вектора
0 = 1/| | Г— =/| |; | 0 | = 1.
Прийнято одиничні вектори на координатних осях...
