Ох, Оу, Оz позначати,, відповідно.
Лінійні операції над векторами володіють тими ж властивостями, що і лінійні операції над матрицями. Зазначимо деякі з них:
) + = + - перестановочний закон складання;
) + (+) = (+) + - сполучний закон додавання;
) Г— (Г—) = (Г—) Г— - сполучний закон множення на число;
) Г— (+) = Г— + Г—;
) (+) Г— = Г— + Г— - розподільні закони.
Розглянемо координати вектора, для чого перенесемо вектор паралельно самому собі так, щоб його початок збігся з початком координат. Нехай кінець вектора - точка М.
Координатами вектора назвемо координати його кінцевої точки.
В
Рис. 5
В
Рис. 6
Так як координатами точки на площині є два числа х і у, то на площині вектор задається двома координатами.
Записують: = (х, у) (рис. 5).
У просторі вектор задається трьома координатами х, у і z.
Записують: = (х, у, z) (рис. 6).
Неважко показати, що при додаванні векторів складаються їхні відповідні координати, а при множенні вектора на число всі його координати множаться на це число.
Якщо дано координати векторів і = (х1, у1, z1), = (х2, у2, z2) і
= +; = -: = Г—,
то координати векторів,, легко знаходяться:
= (х1 + х2; у1 + у2; z1 + z2),
= (x1-x2; y1-y2; z1-z2),
= (Г— х1; Г— у1; Г— z1).
На рис. 5 і рис. 6 видно, що довжина вектора дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його координат:
| | = | | =.
У плоскому випадку достатньо вважати третю координату z рівною нулю.
Якщо вектор обмежений двома точками, координати яких задані: т. А (х1, у1, z1), т. В (х2, у2, z2), то легко знайти координати самого вектора.
В
Рис. 7
На рис. 7 видно, що вектор можна отримати як різниця векторів і, де т. О - початок координат:
= -,
= (х1, у1, z1), = (х2, у2, z2).
Тоді координати вектора рівні різниці відповідних координат кінця і початку вектора:
= (х2-х1; у2-у1; z2-z1).
Відстань між точками А і В обчислимо як довжину вектора:
| АВ | = | | =.
Кутом між векторами і назвемо найменший кут, на який треба повернути один вектор до збігу його з іншим.
В
Рис.
Записують () =.
Покажемо кут між вектором і координатної віссю Ох, наприклад. Позначимо цей кут через. Нехай =. br/>В
Рис.
Очевидно, що cos ==.
Позначимо через,, кути між вектором і координатними осями Ох, Оу, Оz відповідно. Тоді
cos =, cos =, cos =.
Ці формули визначають направляючі косинуси вектора і повністю задають напрямок вектора в просторі. Направляючі косинуси вектора задовольняють умові:
cos2 + cos2 + cos2 = 1.
Це рівність...
