.
Отже, .
Однак така функція не є безперервною на , тобто взагалі не належить розглядався простору. Таким чином, в дана послідовність межі не має.
Як бачимо, одна і та ж послідовність може мати межу в одній метриці і не мати в іншій.
Якщо послідовність має межу, то ця межа єдиний. Справді, нехай і . Тоді
.
При права частина прагне до нуля, отже, ліва частина також прагне до нуля. Але - константа, тому = 0, а значить, .
Визначення межі послідовності елементів нормованого простору засноване на понятті межі числової послідовності. Використовуючи визначення границі числової послідовності, "розшифруємо" більш детально поняття межі в нормованому просторі. p align="justify"> Елемент лінійного нормованого простору L є межею послідовності елементів , якщо для будь-якого (як завгодно малого) знайдеться номер N, такий, що для всіх номерів n, великих N, виконано нерівність . Або, в символьній записи,
В
Розглянемо тепер поняття фундаментальної послідовності, тісно пов'язані з поняттям меж.
Визначення . Послідовність елементів лінійного нормованого простору називається фундаментальної , якщо
В
Очевидно, що будь-яка сходящаяся послідовність фундаментальна: якщо
, то
тоді
для всіх номерів що й доводить фундаментальність послідовності .
З курсу аналізу відомий критерій Коші: числова послідовність сходиться тоді і тільки тоді, коли вона фундаментальна. Іншими словами, простір R влаштовано так, що в ньому не тільки з збіжності слід фундаментальність, а й навпаки. Однак не будь лінійне нормований простір влаштовано таким чином: наприклад, у просторі раціональних чисел Q (із звичайними лінійними операціями і нормою ) фундаментальна послідовність може розходитися (така ситуація має місце, якщо межею послідовності раціональних чисел є число ірраціональне).
