загальненою функцією Лагранжа називається функція виду:
В
де - множники Лагранжа
Визначення 2.2
Градієнтом узагальненої функції Лагранжа по х називається вектор-стовпець, складений з її приватних похідних першого порядку ():
В
Визначення 2.3
Другим диференціалом узагальненої функції Лагранжа називається функція:
В
Визначення 2.4
Першим диференціалом обмежень називається функція:
В
Визначення 2.5
Обмеження називається активним в точці , якщо . Якщо , то обмеження називається пасивним.
Визначення 2.6
Градієнти обмежень є лінійно незалежними в точці , якщо рівність
В
виконується тільки при , інакше градієнти обмежень лінійно залежні.
Визначення 2.7
Точка називається регулярною точкою мінімуму (максимуму), якщо градієнти обмежень є лінійно незалежними ( ), інакше точка називається нерегулярною точкою мінімуму (максимуму).
Теорема 2.1 (Джона-Куна-Таккера) (необхідні умови мінімуму (максимуму) першого порядку)
Нехай - точка локального мінімуму (максимуму) в даній задачі, тоді знайдеться таке число і вектор , не рівні одночасно нулю, що виконуються умови:
а) Умова нетривіальності:
В
б) Умова стаціонарності узагальненої функції Лагранжа:
В
в) Умова допустимості розв'язку:
В
г) Умова узгодження знаків:
В
д) Умова доповнює нежорсткої:
В
Теорема 2.2 (достатні умови мінімуму (максимуму) першого порядку)
Нехай є точка , яка задовольняє системі рівнянь теореми 2.1 при , число активних обмежень в точці збігається з числом змінних (при цьому умова регулярності виконується, тобто градієнти активних обмежень в точці лінійно незалежні). Якщо для всіх
