pan align="justify">, то точка - точка умовного локального мінімуму. Якщо для всіх , то - точка умовного локального максимуму.
Теорема 2.3 (достатня умова екстремуму другого порядку)
Нехай є точка , яка задовольняє системі рівнянь теореми 2.1 при .
Якщо в цій точці для всіх ненульових таких, що
В
Те точка є точкою локального мінімуму (максимуму) в даній задачі.
Зауваження 2.1
Якщо функції опуклі, то умови теореми 2.1 є одночасно і достатніми умовами глобального мінімуму
Визначення 2.8
Функція називається опуклою вниз (або просто опуклою) на множині , якщо графік функції йде не вище хорди, що сполучає будь-які дві точки графіка і , при
Рішення:
Перепишемо умову
В
(КРОК 1)
Складемо узагальнену функцію Лагранжа:
В
(КРОК 2)
Запишемо необхідні умови екстремуму першого порядку
а) Умова нетривіальності:
В
б) Умова стаціонарності узагальненої функції Лагранжа:
В
або
В
в) Умова допустимості розв'язку:
В
р) Умова узгодження знаків
В
д) Умова доповнює нежорсткої:
В
(КРОК 3)
Вирішуємо систему
В
для двох випадків:
В
Тоді отримуємо дві системи для розгляду:
) Розглянемо випадок і відповідні йому варіантів (різних комбінацій ), які відповідають умові доповнює нежорсткої:
В
В
Такі множники Лагранжа призводять до тривіального рішення даної задачі.
В
З другого рівняння отримуємо, що , що не задовольняє умові нетривіальності решения.
В
Система перепишеться як:
В
Видно, що в даному випадку рішення існує тільки при , що не задовольняє умові нетривіальності рішення.
В
